關(guān)于絕對值不等式的知識

含絕對值的不等式1．絕對值的意義是：x???x(x?0)??x(x?0).2．｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝． ｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝．【思考導學】1．|ax＋b|＜b(b＞0)轉(zhuǎn)化成－b＜ax＋b＜b的根據(jù)是什么？答：含絕對值的不等式|ax＋b|＜b轉(zhuǎn)化－b＜ax＋b＜b的根據(jù)是由絕對值的意義確定．2．解含有絕對值符號的不等式的基本思想是什么？答：解含有絕對值符號的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，使不等式變?yōu)椴缓^對值符號的一般不等式，而后，其解法就與解一般不等式或不等式組相同．【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．解法一：原不等式等價于??|2x?5|?2?|2x?5|?7?73∴??2x?5|2或2x?5??2?x?或x??7?2x?5|?7即?2?2???1?x?6∴原不等式的解集為｛x｜－1≤x＜32或72＜x≤6｝解法二：原不等式的解集是下面兩個不等式組解集的并集(Ⅰ)??2x?5?0?2?2x?5?7(Ⅱ)??2x?5?0?2?5?2x?7不等式組(Ⅰ)的解集為｛x｜72＜x≤6｝ 不等式組(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜32｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜372或2＜x≤6｝解法三：原不等式的解集是下面兩個不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x－5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x≤7不等式(Ⅰ)的解集為｛x｜72＜x≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜32｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜32或72＜x≤6｝．點評：含絕對值的雙向不等式的解法，關(guān)鍵是去絕對值號．其方法一是轉(zhuǎn)化為單向不等式組如解法一，再就是利用絕對值的定義如解法二、解法三． ［例2］解關(guān)于x的不等式：(1)｜2x＋3｜－1＜a(a∈R)； (2)｜2x＋1｜＞x＋1．解：(1)原不等式可化為｜2x＋3｜＜a＋1 當a＋1＞0，即a＞－1時，由原不等式得－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1－a?4a2＜x＜?22當a＋1≤0,即a≤－1時，原不等式的解集為?，綜上，當a＞－1時，原不等式的解集是｛x｜－a?42＜x＜a?22} 當a≤－1時，原不等式的解集是?． (2)原不等式可化為下面兩個不等式組來解(Ⅰ)??2x?1?0?2x?1?0?2x?1?x?1或(Ⅱ)???(2x?1)?x?1不等式組(Ⅰ)的解為x＞0 不等式組(Ⅱ)的解為x＜－23∴原不等式的解集為｛x｜x＜－23或x＞0｝ 點評：由于無論x取何值，關(guān)于x的代數(shù)式的絕對值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f(x)｜＜a(a≤0)的解集為?．解不等式分情況討論時，一定要注意是對參數(shù)分類還是對變量分類，對參數(shù)分類的解集一般不合并，如(1)對變量分類，解集必須合并如(2)． 例3］解不等式|x－|2x＋1||＞1．解：∵由|x－|2x＋1||＞1等價于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1(1)由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1∴??2x?1?0?2x?1??2x?1?x?1或?0 ??(2x?1)?x?1