圓周率的研究方法(圓周率的研究課題)
1.圓周率的研究課題
阿基米德求圓周率的更精確近似值的方法，體現(xiàn)在他的一篇論文《圓的測定》之中。
在這一書中，阿基米德第一次創(chuàng)用上、下界來確定 π 的近似值，他用幾何方法證明了“圓周長與圓直徑之比小于 3+(1/7) 而大于 3 + (10/71) ”，他還提供了誤差的估計。重要的是，這種方法從理論上而言，能夠求得圓周率的更準(zhǔn)確的值。
到公元150年左右，希臘天文學(xué)家托勒密得出 π =3.1416，取得了自阿基米德以來的巨大進(jìn)步。 圓周率是一個極其馳名的數(shù)。
從有文字記載的歷史開始，這個數(shù)就引進(jìn)了外行人和學(xué)者們的興趣。作為一個非常重要的常數(shù)，圓周率最早是出于解決有關(guān)圓的計算問題。
僅憑這一點(diǎn)，求出它的盡量準(zhǔn)確的近似值，就是一個極其迫切的問題了。事實(shí)也是如此，幾千年來作為數(shù)學(xué)家們的奮斗目標(biāo)，古今中外一代一代的數(shù)學(xué)家為此獻(xiàn)出了自己的智慧和勞動。
回顧歷史，人類對 π 的認(rèn)識過程，反映了數(shù)學(xué)和計算技術(shù)發(fā)展情形的一個側(cè)面。 π 的研究，在一定程度上反映這個地區(qū)或時代的數(shù)學(xué)水平。
德國數(shù)學(xué)史家康托說：“歷史上一個國家所算得的圓周率的準(zhǔn)確程度，可以作為衡量這個國家當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的指標(biāo)。”直到19世紀(jì)初，求圓周率的值應(yīng)該說是數(shù)學(xué)中的頭號難題。
為求得圓周率的值，人類走過了漫長而曲折的道路，它的歷史是饒有趣味的。我們可以將這一計算歷程分為幾個階段。
2.π的計算方法有哪些
圓周率是指平面上圓的周長與直徑之比 （ratio of the circumference of a circle to the diameter） 。
用符號π（讀音：pài）表示。中國古代有圓率、周率、周等名稱。
（在一般計算時π=3.14） 圓周率的歷史 古希臘歐幾里得《幾何原本》（約公元前3世紀(jì)初）中提到圓周率是常數(shù)，中國古算書《周髀算經(jīng)》（ 約公元前2世紀(jì)）中有“徑一而周三”的記載，也認(rèn)為圓周率是常數(shù)。歷史上曾采用過圓周率的多種近似值，早期大都是通過實(shí)驗(yàn)而得到的結(jié)果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取π=（4/3）^4≈3.1604 。
第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他在《圓的度量》（公元前3世紀(jì)）中用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到（3+(10/71)）<π<（3+(1/7)） ，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或阿基米德方法），得出精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的π值。中國數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》（263年）時只用圓內(nèi)接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確到兩位小數(shù)的π值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)。
他用割圓術(shù)一直算到圓內(nèi)接正192邊形。南北朝時代數(shù)學(xué)家祖沖之進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的π值（約5世紀(jì)下半葉），給出不足近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分?jǐn)?shù)值，密率355/113和約率22/7。
其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西在15世紀(jì)初求得圓周率17位精確小數(shù)值，打破祖沖之保持近千年的紀(jì)錄。
德國數(shù)學(xué)家柯倫于1596年將π值算到20位小數(shù)值，后投入畢生精力，于1610年算到小數(shù)后35位數(shù)，該數(shù)值被用他的名字稱為魯?shù)婪驍?shù)。 1579年法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)給出π的第一個解析表達(dá)式。
此后，無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種π值表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，π值計算精度也迅速增加。1706年英國數(shù)學(xué)家梅欽計算π值突破100位小數(shù)大關(guān)。
1873 年另一位英國數(shù)學(xué)家尚可斯將π值計算到小數(shù)點(diǎn)后707位，可惜他的結(jié)果從528位起是錯的。到1948年英國的弗格森和美國的倫奇共同發(fā)表了π的808位小數(shù)值，成為人工計算圓周率值的最高紀(jì)錄。
電子計算機(jī)的出現(xiàn)使π值計算有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展。1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實(shí)驗(yàn)室首次用計算機(jī)（ENIAC）計算π值，一下子就算到2037位小數(shù)，突破了千位數(shù)。
1989年美國哥倫比亞大學(xué)研究人員用克雷-2型和IBM-VF型巨型電子計算機(jī)計算出π值小數(shù)點(diǎn)后4.8億位數(shù)，后又繼續(xù)算到小數(shù)點(diǎn)后10.1億位數(shù)，創(chuàng)下新的紀(jì)錄。除π的數(shù)值計算外，它的性質(zhì)探討也吸引了眾多數(shù)學(xué)家。
1761年瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特第一個證明π是無理數(shù)。1794年法國數(shù)學(xué)家勒讓德又證明了π2也是無理數(shù)。
到1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼首次證明了π是超越數(shù)，由此否定了困惑人們兩千多年的「化圓為方」尺規(guī)作圖問題。還有人對π的特征及與其它數(shù)字的聯(lián)系進(jìn)行研究。
如1929年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家格爾豐德證明了eπ 是超越數(shù)等等。圓周率的計算 古今中外，許多人致力于圓周率的研究與計算。
為了計算出圓周率的越來越好的近似值，一代代的數(shù)學(xué)家為這個神秘的數(shù)貢獻(xiàn)了無數(shù)的時間與心血。十九世紀(jì)前，圓周率的計算進(jìn)展相當(dāng)緩慢，十九世紀(jì)后，計算圓周率的世界紀(jì)錄頻頻創(chuàng)新。
整個十九世紀(jì)，可以說是圓周率的手工計算量最大的世紀(jì)。進(jìn)入二十世紀(jì)，隨著計算機(jī)的發(fā)明，圓周率的計算有了突飛猛進(jìn)。
借助于超級計算機(jī)，人們已經(jīng)得到了圓周率的2061億位精度。歷史上最馬拉松式的計算，其一是德國的Ludolph Van Ceulen，他幾乎耗盡了一生的時間，計算到圓的內(nèi)接正262邊形，于1609年得到了圓周率的35位精度值，以至于圓周率在德國被稱為Ludolph數(shù)；其二是英國的William Shanks，他耗費(fèi)了15年的光陰，在1874年算出了圓周率的小數(shù)點(diǎn)后707位。
可惜，后人發(fā)現(xiàn)，他從第528位開始就算錯了。把圓周率的數(shù)值算得這么精確，實(shí)際意義并不大。
現(xiàn)代科技領(lǐng)域使用的圓周率值，有十幾位已經(jīng)足夠了。如果用Ludolph Van Ceulen算出的35位精度的圓周率值，來計算一個能把太陽系包起來的一個圓的周長，誤差還不到質(zhì)子直徑的百萬分之一。
以前的人計算圓周率，是要探究圓周率是否循環(huán)小數(shù)。自從1761年Lambert證明了圓周率是無理數(shù)，1882年Lindemann證明了圓周率是超越數(shù)后，圓周率的神秘面紗就被揭開了。
現(xiàn)在的人計算圓周率， 多數(shù)是為了驗(yàn)證計算機(jī)的計算能力，還有，就是為了興趣。圓周率的計算方法 古人計算圓周率，一般是用割圓法。
即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長。Archimedes用正96邊形得到圓周率小數(shù)點(diǎn)后3位的精度；劉徽用正3072邊形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262邊形得到了35位精度。
這種基于幾何的算法計算量大，速度慢，吃力不討好。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)家們在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時有意無意地發(fā)現(xiàn)了許多計算圓周率的公式。
下面挑選一些經(jīng)典的常用公式加以介紹。除了這些經(jīng)典公式外，還有很多其它公式和由這些經(jīng)典公式衍生出來的公式，就不一一列舉了。
1、Machin公式 [這個公式由英國天文學(xué)教授John 。
3.古代數(shù)學(xué)如何研究圓周率
圓周率的發(fā)展史
在歷史上，有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作出過研究，當(dāng)中著名的有阿基米德（Archimedes of Syracuse）、托勒密（Claudius Ptolemy）、張衡、祖沖之等。他們在自己的國家用各自的方法，辛辛苦苦地去計算圓周率的值。下面，就是世上各個地方對圓周率的研究成果。
亞洲
中國：
魏晉時，劉徽曾用使正多邊形的邊數(shù)逐漸增加去逼近圓周的方法（即「割圓術(shù)」），求得π的近似值3.1416。
漢朝時，張衡得出π的平方除以16等於5/8，即π等於10的開方（約為3.162）。雖然這個值不太準(zhǔn)確，但它簡單易理解，所以也在亞洲風(fēng)行了一陣。
王蕃（229-267）發(fā)現(xiàn)了另一個圓周率值，這就是3.156，但沒有人知道他是如何求出來的。
公元5世紀(jì)，祖沖之和他的兒子以正24576邊形，求出圓周率約為355/113，和真正的值相比，誤差小於八億分之一。這個紀(jì)錄在一千年后才給打破。
印度：
約在公元530年，數(shù)學(xué)大師阿耶波多利用384邊形的周長，算出圓周率約為√9.8684。
婆羅門笈多采用另一套方法，推論出圓周率等於10的平方根。
歐洲
斐波那契算出圓周率約為3.1418。
韋達(dá)用阿基米德的方法，算出3.1415926535<；π<3.1415926537
他還是第一個以無限乘積敘述圓周率的人。
魯?shù)婪蛉f科倫以邊數(shù)多過32000000000的多邊形算出有35個小數(shù)位的圓周率。
華理斯在1655年求出一道公式π/2=2*2*4*4*6*6*8*8。../3*3*5*5*7*7*9*9。。
歐拉發(fā)現(xiàn)的 e的iπ次方加1等於0，成為證明π是超越數(shù)的重要依據(jù)。
之后，不斷有人給出反正切公式或無窮級數(shù)來計算π，在這里就不多說了。
4.祖沖之是怎樣研究圓周率的
由于祖沖之所著的數(shù)學(xué)專著《綴術(shù)》已經(jīng)失傳，《隋書》又沒有具體地記載他求圓周率的方法，因此，我國研究祖國數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的專家們，對于他求圓周率的方法還有不同的見解。
有人認(rèn)為祖沖之圓周率中的“朒數(shù)”。是用作圓的內(nèi)接正多邊形的方法求得的；而“盈數(shù)”則是用作圓的外切正多邊形的方法求得的。祖沖之如果繼續(xù)用劉徽的辦法，從圓的內(nèi)接正六邊形算起，逐次加倍邊數(shù)，一直算到內(nèi)接正24576邊形時，它的各邊長度總和只能逐次接近并較小于圓周的周長，這正多邊形的面積也只能逐次接近并較小于圓面積，從此求出的圓周率為3.14159261，也只能小于圓周率的真實(shí)數(shù)值，這就是朒 數(shù)。從祖沖之的數(shù)學(xué)水平來看，突破劉徽的方法，從外切正六邊形算起，逐次試求圓周率，也是可能的。如果祖沖之把外切正六邊形的邊數(shù)成倍增加，到正24576邊形時，他所求得的圓周率應(yīng)該是3.14159270208。這個數(shù)是用外切方法求得的。由于外切正多邊形各邊邊長的總和永遠(yuǎn)大于圓周的長度，這正多邊形的面積也永遠(yuǎn)大于圓面積，所以這個數(shù)總比真實(shí)的圓周率大。用四舍五入法舍去小數(shù)點(diǎn)七位以后的數(shù)字，就得出盈數(shù)。
祖沖之究竟是否同時用過內(nèi)接和外切這兩個方法求出圓周率的朒數(shù)和盈數(shù)，是沒有確切史料可以證實(shí)的。但是采用這個辦法所求出的朒、盈兩個數(shù)值，和祖沖之原來所求出的結(jié)果大體是一致的。所以有些數(shù)學(xué)史家認(rèn)為祖沖之曾用過作圓的外切正多邊形的方法求得圓周率，是很近情理的推想。
但是根據(jù)另一些數(shù)學(xué)史家的研究，盈、朒兩數(shù)也可以由計算圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形的邊長而得出來。不過這種計算比較難懂，這里不說了。
盡管說法有出入，但是祖沖之曾經(jīng)求得“密率”，并且明確地用上、下兩限來說明圓周率這個數(shù)值的范圍，是可以肯定的。在一千五百年前，他有這樣的成就和認(rèn)識，真值得我們欽佩。
在推算圓周率時，祖沖之付出了不知多少辛勤的勞動。如果從正六邊形算起，算到24576邊時，就要把同一運(yùn)算程序反復(fù)進(jìn)行十二次，而且每一運(yùn)算程序又包括加減乘除和開方等十多個步驟。我們現(xiàn)在用紙筆算盤來進(jìn)行這樣的計算，也是極其吃力的。當(dāng)時祖沖之進(jìn)行這樣繁難的計算，只能用籌碼（小竹棍）來逐步推演。如果頭腦不是十分冷靜精細(xì)，沒有堅韌不拔的毅力，是絕對不會成功的。祖沖之頑強(qiáng)刻苦的研究精神，是很值得推崇的。
5.祖沖之是怎樣研究圓周率的
由于祖沖之所著的數(shù)學(xué)專著《綴術(shù)》已經(jīng)失傳，《隋書》又沒有具體地記載他求圓周率的方法，因此，我國研究祖國數(shù)學(xué)遺產(chǎn)的專家們，對于他求圓周率的方法還有不同的見解.有人認(rèn)為祖沖之圓周率中的“朒數(shù)”.是用作圓的內(nèi)接正多邊形的方法求得的；而“盈數(shù)”則是用作圓的外切正多邊形的方法求得的.祖沖之如果繼續(xù)用劉徽的辦法，從圓的內(nèi)接正六邊形算起，逐次加倍邊數(shù)，一直算到內(nèi)接正24576邊形時，它的各邊長度總和只能逐次接近并較小于圓周的周長，這正多邊形的面積也只能逐次接近并較小于圓面積，從此求出的圓周率為3.14159261，也只能小于圓周率的真實(shí)數(shù)值，這就是朒 數(shù).從祖沖之的數(shù)學(xué)水平來看，突破劉徽的方法，從外切正六邊形算起，逐次試求圓周率，也是可能的.如果祖沖之把外切正六邊形的邊數(shù)成倍增加，到正24576邊形時，他所求得的圓周率應(yīng)該是3.14159270208.這個數(shù)是用外切方法求得的.由于外切正多邊形各邊邊長的總和永遠(yuǎn)大于圓周的長度，這正多邊形的面積也永遠(yuǎn)大于圓面積，所以這個數(shù)總比真實(shí)的圓周率大.用四舍五入法舍去小數(shù)點(diǎn)七位以后的數(shù)字，就得出盈數(shù).祖沖之究竟是否同時用過內(nèi)接和外切這兩個方法求出圓周率的朒數(shù)和盈數(shù)，是沒有確切史料可以證實(shí)的.但是采用這個辦法所求出的朒、盈兩個數(shù)值，和祖沖之原來所求出的結(jié)果大體是一致的.所以有些數(shù)學(xué)史家認(rèn)為祖沖之曾用過作圓的外切正多邊形的方法求得圓周率，是很近情理的推想.但是根據(jù)另一些數(shù)學(xué)史家的研究，盈、朒兩數(shù)也可以由計算圓內(nèi)接正12288邊形和正24576邊形的邊長而得出來.不過這種計算比較難懂，這里不說了.盡管說法有出入，但是祖沖之曾經(jīng)求得“密率”，并且明確地用上、下兩限來說明圓周率這個數(shù)值的范圍，是可以肯定的.在一千五百年前，他有這樣的成就和認(rèn)識，真值得我們欽佩.在推算圓周率時，祖沖之付出了不知多少辛勤的勞動.如果從正六邊形算起，算到24576邊時，就要把同一運(yùn)算程序反復(fù)進(jìn)行十二次，而且每一運(yùn)算程序又包括加減乘除和開方等十多個步驟.我們現(xiàn)在用紙筆算盤來進(jìn)行這樣的計算，也是極其吃力的.當(dāng)時祖沖之進(jìn)行這樣繁難的計算，只能用籌碼（小竹棍）來逐步推演.如果頭腦不是十分冷靜精細(xì)，沒有堅韌不拔的毅力，是絕對不會成功的.祖沖之頑強(qiáng)刻苦的研究精神，是很值得推崇的.。
6.如何求圓周率
這個比較難懂，我補(bǔ)充個別人的解釋吧 ———————————————————— 一、源程序 本文分析下面這個很流行的計算PI的小程序。
下面這個程序初看起來似乎摸不到頭腦， 不過不用擔(dān)心，當(dāng)你讀完本文的時候就能夠基本讀懂它了。 程序一：很牛的計算Pi的程序 int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g; main() { for(;b-c;) f[b++]=a/5; for(;d=0,g=c*2;c -=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a) for(b=c; d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b; d*=b)； } 二、數(shù)學(xué)公式 數(shù)學(xué)家們研究了數(shù)不清的方法來計算PI，這個程序所用的公式如下： 1 2 3 k pi = 2 + --- * (2 + --- * (2 + --- * (2 + 。
(2 + ---- * (2 + 。 ))。
))) 3 5 7 2k+1 至于這個公式為什么能夠計算出PI，已經(jīng)超出了本文的能力范圍。 下面要做的事情就是要分析清楚程序是如何實(shí)現(xiàn)這個公式的。
我們先來驗(yàn)證一下這個公式： 程序二：Pi公式驗(yàn)證程序 #include "stdio.h" void main() { float pi=2; int i; for(i=100;i>=1;i--) pi=pi*(float)i/(2*i+1)+2; printf("%f\n",pi); getchar（)； } 上面這個程序的結(jié)果是3.141593。 三、程序展開 在正式分析程序之前，我們需要對程序一進(jìn)行一下展開。
我們可以看出程序一都是使用 for循環(huán)來完成計算的，這樣做雖然可以使得程序短小，但是卻很難讀懂。根據(jù)for循環(huán) 的運(yùn)行順序，我們可以把它展開為如下while循環(huán)的程序： 程序三：for轉(zhuǎn)換為while之后的程序 int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g; main() { int i; for(i=0;i<c;i++) f[i]=a/5; while(c!=0) { d=0; g=c*2; b=c; while(1) { d=d+f[b]*a; g--; f[b]=d%g; d=d/g; g--; b--; if(b==0) break; d=d*b; } c=c-14; printf("%.4d",e+d/a); e=d%a； } } 注： for([1];[2];[3]) {[4]；} 的運(yùn)行順序是[1],[2],[4],[3]。
如果有逗號操作符，例如：d=0,g=c*2，則先運(yùn)行d=0， 然后運(yùn)行g(shù)=c*2，并且最終的結(jié)果是最后一個表達(dá)式的值，也就是這里的c*2。 下面我們就針對展開后的程序來分析。
四、程序分析 要想計算出無限精度的PI，我們需要上述的迭代公式運(yùn)行無數(shù)次，并且其中每個分?jǐn)?shù)也 是完全精確的，這在計算機(jī)中自然是無法實(shí)現(xiàn)的。那么基本實(shí)現(xiàn)思想就是迭代足夠多次 ，并且每個分?jǐn)?shù)也足夠精確，這樣就能夠計算出PI的前n位來。
上面這個程序計算800位 ，迭代公式一共迭代2800次。 int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g； 這句話中的2800就是迭代次數(shù)。
由于float或者double的精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因此程序中使用整數(shù)類型（實(shí)際是長整型），分 段運(yùn)算（每次計算4位）。我們可以看到輸出語句 printf("%.4d",e+d/a)； 其中%.4就是 把計算出來的4位輸出，我們看到c每次減少14( c=c-14；)，而c的初始大小為2800，因 此一共就分了200段運(yùn)算，并且每次輸出4位，所以一共輸出了800位。
由于使用整型數(shù)運(yùn)算，因此有必要乘上一個系數(shù)，在這個程序中系數(shù)為1000，也就是說 ，公式如下： 1 2 3 k 1000*pi = 2k+ --- * (2k+ --- * (2k+ --- * (2k+ 。 (2k+ ---- * (2k+ 。
)). ..))) 3 5 7 2k+1 這里的2k表示2000，也就是f[2801]數(shù)組初始化以后的數(shù)據(jù)，a=10000,a/5=2000，所以下面 的程序把f中的每個元素都賦值為2000: for(i=0;i<c;i++) f[i]=a/5； 你可能會覺得奇怪，為什么這里要把一個常數(shù)儲存到數(shù)組中去，請繼續(xù)往下看。 我們先來跟蹤一下程序的運(yùn)行： while(c!=0) 假設(shè)這是第一次運(yùn)行，c=2800，為迭代次數(shù) { d=0; g=c*2； 這里的g是用來做k/(2k+1)中的分子 b=c； 這里的b是用來做k/(2k+1)中的分子 while(1) { d=d+f[b]*a; f中的所有的值都為2000，這里在計算時又把系數(shù)擴(kuò)大了 a=10000倍。
這樣做的目的稍候介紹，你可以看到 輸出的時候是d/a，所以這不影 計算 g--; f[b]=d%g； 先不管這一行 d=d/g； 第一次運(yùn)行的g為2*2799+1，你可以看到g做了分母 g--; b--; if(b==0) break; d=d*b； 這里的b為2799，可以看到d做了分子。 } c=c-14; printf("%.4d",e+d/a); e=d%a； } 只需要粗略的看看上面的程序，我們就大概知道它的確是使用的那個迭代公式來計算Pi 的了，不過不知道到現(xiàn)在為止你是否明白了f數(shù)組的用處。
如果沒有明白，請繼續(xù)閱讀。 d=d/g，這一行的目的是除以2k+1，我們知道之所以程序無法精確計算的原因就是這個除 法。
即使用浮點(diǎn)數(shù)，答案也是不夠精確的，因此直接用來計算800位的Pi是不可能的。那 么不精確的成分在哪里？很明顯：就是那個余數(shù)d%g。
程序用f數(shù)組把這個誤差儲存起來 ，再下次計算的時候使用?，F(xiàn)在你也應(yīng)該知道為什么d=d+f[b]*a；中間需要乘上a了吧。
把分子擴(kuò)大之后，才好把誤差精確的算出來。 d如果不乘10000這個系數(shù)，則其值為2000，那么運(yùn)行d=d/g；則是2000/(2*2799+1)，這 種整數(shù)的除法答案為0，根本無法迭代下去了。
現(xiàn)在我們知道程序就是把余數(shù)儲存起來，作為下次迭代的時候的參數(shù)，那么為什么這么 做就可以使得下次迭代出來的結(jié)果為 接下來的4位數(shù)呢？ 這實(shí)際上和我們在紙上作除法很類似： 0142 /——------ 7 / 1 10 7 --------------- 30 28 --------------- 20 14 --------------- 60 。.. 我們可以發(fā)現(xiàn)，在做除法的時候，我們通常把余數(shù)擴(kuò)大之后再來計算，f中既然儲存的是 余數(shù)，而f[b]*a；則正好把這個余數(shù)擴(kuò)大了a倍，然后如此循環(huán)下去，可以計算到任意精 度。
這里要說明的是，事實(shí)上每次計算出來的d并不一定只。
