等差等比數(shù)列(等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本知識)

1.等差數(shù)列,等比數(shù)列的基本知識

等差數(shù)列 如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。

通項(xiàng)公式 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)d (1) 前n項(xiàng)和公式 前n項(xiàng)和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 (2) 以上n均屬于正整數(shù)。 推論 1.從（1）式可以看出，an是n的一次函數(shù)（d≠0）或常數(shù)函數(shù)（d=0）,(n,an)排在一條直線上，由（2）式知，Sn是n的二次函數(shù)（d≠0）或一次函數(shù)（d=0,a1≠0），且常數(shù)項(xiàng)為0。

2. 從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 3.若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq,Sm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差數(shù)列，等等。 4.其他推論 和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）*項(xiàng)數(shù)÷2 項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1 首項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng) 末項(xiàng)=2和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng) 末項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)-1）*公差 等差中項(xiàng) 在等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)：一般設(shè)為Ar,Am+An=2Ar，所以Ar為Am,An的等差中項(xiàng)，且為數(shù)列的平均數(shù)。

且任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為：an=am+(n-m)d 它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。 [編輯本段]二、等差數(shù)列的應(yīng)用： 日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別 時(shí)，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級。

若為等差數(shù)列，且有an=m,am=n.則a(m+n)=0。 其實(shí)，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經(jīng)》提到等差數(shù)列了： 今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計(jì)織三十日，問共織幾何？ 書中的解法是：并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。

這相當(dāng)于給出了Sn=(a1+an)/2*n的求和公式 [編輯本段]三、等差數(shù)列的基本性質(zhì) ⑴公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d. ⑵公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd. ⑶若、為等差數(shù)列，則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列. ⑷對任何m、n ，在等差數(shù)列中有：a = a + (n-m)d，特別地，當(dāng)m = 1時(shí)，便得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，此式較等差數(shù)列的通項(xiàng)公式更具有一般性. ⑸、一般地，如果l,k,p，…，m,n,r，…皆為自然數(shù)，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數(shù)個(gè)數(shù)相等），那么當(dāng)為等差數(shù)列時(shí)，有：a + a + a + … = a + a + a + … . ⑹公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項(xiàng)數(shù)之差). ⑺如果是等差數(shù)列，公差為d，那么，a ,a ，…，a 、a 也是等差數(shù)列，其公差為-d；在等差數(shù)列中，a -a = a -a = md .（其中m、k、） ⑻在等差數(shù)列中，從第一項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列末項(xiàng)除外）都是它前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng). ⑼當(dāng)公差d>0時(shí)，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)d ⑽設(shè)a 1,a 2,a 3為等差數(shù)列中的三項(xiàng)，且a1 與a2 ,a 2與a 3的項(xiàng)距差之比 = d( d≠-1)，則2a2 = a1+a3. [編輯本段]四、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式S 的基本性質(zhì) ⑴數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列的前n項(xiàng)和S 可以寫成S = an + bn的形式（其中a、b為常數(shù)）. ⑵在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N )時(shí)，S -S = nd， = ；當(dāng)項(xiàng)數(shù)為（2n-1） (n )時(shí)，S -S = a ， = . ⑶若數(shù)列為等差數(shù)列，則S ,S -S ,S -S ，…仍然成等差數(shù)列，公差為 . ⑷若兩個(gè)等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和分別是S 、T (n為奇數(shù))，則 = . ⑸在等差數(shù)列中，S = a,S = b (n>m)，則S = (a-b). ⑹等差數(shù)列中， 是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)（n， ）均在直線y = x + (a - )上. ⑺記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S .①若a >0，公差d0，則當(dāng)a ≤0且a ≥0時(shí)，S 最小. 等比數(shù)列 簡介與公式 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是：An=A1*q^(n-1) 若通項(xiàng)公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*)，當(dāng)q>0時(shí)，則可把a(bǔ)n看作自變量n的函數(shù)，點(diǎn)（n,an）是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點(diǎn)。 （2）求和公式：Sn=nA1(q=1) Sn=A1(1-q^n)/(1-q) =(a1-a1q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) =a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n （ 即A-Aq^n） （前提：q≠ 1） 任意兩項(xiàng)am,an的關(guān)系為an=am·q^(n-m) (3)從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)等比中項(xiàng)：aq·ap=ar^2,ar則為ap,aq等比中項(xiàng)。

記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列各項(xiàng)取同底數(shù)后構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列；反之，以任一個(gè)正數(shù)C為底，用一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個(gè)意義下，我們說：一個(gè)正項(xiàng)等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。

（5）無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式： 無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：對于等比數(shù)列 的前n 項(xiàng)和，當(dāng)n 無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)和。 [編輯本段]性質(zhì) ①若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq； ②在等比數(shù)列中，依次每 k項(xiàng)。

2.等比等差數(shù)列講解,要系統(tǒng),且性質(zhì)要詳細(xì),方法歸納詳細(xì),盡量拓展

等差數(shù)列與等比數(shù)列 基礎(chǔ)知識 1.數(shù)列的概念 定義1. 按照某一法則，給定了第1個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)，………，對于正整數(shù)有一個(gè)確定的數(shù)，于是得到一列有次序的數(shù)我們稱它為數(shù)列，用符號表示。

數(shù)列中的每項(xiàng)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)稱為數(shù)列的一般項(xiàng)，又稱為數(shù)列的通項(xiàng)。 定義2.當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為有限個(gè)時(shí)，稱這個(gè)數(shù)列為有限數(shù)列；當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為無限時(shí)，則稱這個(gè)數(shù)列為無限數(shù)列。

定義3.對于一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)，即，這樣的數(shù)列稱為遞增數(shù)列；如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)，即，這樣的數(shù)列稱為遞減數(shù)列。 定義4.如果數(shù)列的每一項(xiàng)的絕對值都小于某一個(gè)正數(shù)，即，其中是某一個(gè)正數(shù)，則稱這樣的數(shù)列為有界數(shù)列，否則就稱為是無界數(shù)列。

定義5.如果在數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)與具有如下的函數(shù)關(guān)系：，則稱這個(gè)關(guān)系為數(shù)列的通項(xiàng)公式。 2.等差數(shù)列 定義6.一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公差，常用字母表示。

等差數(shù)列具有以下幾種性質(zhì)： （1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：或； （2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：或； （3）公差非零的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為的一次函數(shù)； （4）公差非零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于不含有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)； （5）設(shè)是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列； （6）設(shè)，是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）也是等差數(shù)列； （7）設(shè)，是等差數(shù)列，且，則也是等差數(shù)列（即等差數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）； （8）若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，； （9）設(shè)，，，則有； （10）對于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，記分別表示前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，則，； （11）對于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，有，； （12）是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則； （13）其他衍生等差數(shù)列：若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則 ①.為等差數(shù)列，公差為； ②.（即）為等差數(shù)列，公差； ③.（即）為等差數(shù)列，公差為. 3.等比數(shù)列 定義7.一般地，如果有一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于現(xiàn)中一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比；公比通常用字母表示（），即。 等比數(shù)列具有以下性質(zhì)： （1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：或； （2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：； （3）等比中項(xiàng)：； （4）無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)公式：對于等比數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)的和，記為，即； （5）設(shè)是等比數(shù)列，則（是常數(shù)），仍成等比數(shù)列； （6）設(shè)，是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列； （7）設(shè)是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且則也是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）； （8）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，則是等差數(shù)列； （9）若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，； （10）設(shè)，，，則有； （11）其他衍生等比數(shù)列：若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則 ①.為等比數(shù)列，公比為； ②.（即）為等比數(shù)列，公比為； 典例分析 例1.設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不小于3，且各項(xiàng)之和為972，則這樣的數(shù)列有_____________個(gè)。

解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為。由已知有，即。

又因?yàn)?，所以只可能取，又因?yàn)榍揖鶠檎麛?shù)，故； 若，由于為正數(shù)，則，即，故，這時(shí)有或； 若，則，這時(shí)有或。

3.求高一數(shù)學(xué)等差和等比數(shù)列的知識對比列表

等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為an=a1+(n-1)d,an=a1*q^(n-1) 二、基本公式： 9、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an= 10、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)） 當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

11、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn= Sn= Sn= 當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0）,Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。 12、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0） 13、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 （是關(guān)于n的正比例式）； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn= Sn= 三、有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論 14、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等差數(shù)列。

15、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則 16、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則 17、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍為等比數(shù)列。 18、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

19、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列 {an bn}、、仍為等比數(shù)列。 20、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

21、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。 22、三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法：a/q,a,aq； 四個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 （為什么？） 24、{an}為等差數(shù)列，則 （c>0）是等比數(shù)列。

25、{bn}(bn>0)是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c 1) 是等差數(shù)列。 26. 在等差數(shù)列 中： （1）若項(xiàng)數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， ， 27. 在等比數(shù)列 中： （1） 若項(xiàng)數(shù)為 ，則 （2）若數(shù)為 則， 四、數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。

關(guān)鍵是找數(shù)列的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)。 28、分組法求數(shù)列的和：如an=2n+3n 29、錯(cuò)位相減法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂項(xiàng)法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求數(shù)列{an}的最大、最小項(xiàng)的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函數(shù)f(n)的增減性 如an= 33、在等差數(shù)列 中，有關(guān)Sn 的最值問題——常用鄰項(xiàng)變號法求解： （1）當(dāng) >0,d<0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得 取最大值. （2）當(dāng) 0時(shí)，滿足 的項(xiàng)數(shù)m使得 取最小值。

在解含絕對值的數(shù)列最值問題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。 裂項(xiàng)法求和 例題 1/1*4+1/4*7+1/7*10。

1/(3n-2)(3n+1) 怎么解這種不是n(n+1)的裂項(xiàng)法阿？ 解答 1/(3n-2)(3n+1) 1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1) 只要是分式數(shù)列求和，可采用裂項(xiàng)法 裂項(xiàng)的方法是用分母中較小因式的倒數(shù)減去較大因式的倒數(shù)，通分后與原通項(xiàng)公式相比較就可以得到所需要的常數(shù) 高三新數(shù)學(xué)（5）——數(shù)列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=173613 高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元試卷7-數(shù)列的求和 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=168353 高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)單元試卷6-等差數(shù)列與等比數(shù)列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=168352 高三數(shù)學(xué)第二輪專題（二）（數(shù)列、極限、數(shù)學(xué)歸納法） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167870 高三數(shù)學(xué)第二輪課堂選擇、填空專項(xiàng)訓(xùn)練（數(shù)列） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167866 2006年全國各地高考試題分類解析（數(shù)列） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167838 高考數(shù)學(xué)模擬新題集錦：第三部分 數(shù)列 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167747 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列作業(yè) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167717 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列與函數(shù)的極限 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167716 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的通項(xiàng) /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167712 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的應(yīng)用 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167714 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的綜合應(yīng)用 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167715 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的前n項(xiàng)和 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167711 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---數(shù)列的概念 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167710 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---第三章數(shù)列參考答案 /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167662 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---等差數(shù)學(xué)列和等比數(shù)列（2） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167660 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---等差數(shù)列和等比數(shù)列（3） /dispbbs.asp?boardID=137&ID=167661 高考數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí)同步練習(xí)---等差數(shù)列和等比數(shù)列（1） http://bbs.topsage。.。

4.等比數(shù)列的一些知識

一般地，如果有一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于現(xiàn)中一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比；公比通常用字母表示（），即。

等比數(shù)列具有以下性質(zhì)：

(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：或；

(2)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：；

(3)等比中項(xiàng)：；

(4)無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)公式：對于等比數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)無限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)的和，記為，即；

(5)設(shè)是等比數(shù)列，則（是常數(shù)），仍成等比數(shù)列；

(6)設(shè)，是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；

(7)設(shè)是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且則也是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；

(8)設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，則是等差數(shù)列；

(9)若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，；

(10)設(shè)，，，則有；

(11)其他衍生等比數(shù)列：若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則

①.為等比數(shù)列，公比為；

②.（即）為等比數(shù)列，公比為；