算矩陣的k次冪方法(線性代數(shù)矩陣的冪計(jì)算方法)
1.線性代數(shù)矩陣的冪計(jì)算方法有哪些
一般有以下幾種方法
1. 計(jì)算A^2,A^3 找規(guī)律， 然后用歸納法證明
2. 若r(A)=1， 則A=αβ^T, A^n=（β^Tα）^（n-1）A
注： β^Tα =α^Tβ = tr（αβ^T）
3. 分拆法： A=B+C, BC=CB， 用二項(xiàng)式公式展開(kāi)
適用于 B^n 易計(jì)算， C的低次冪為零矩陣： C^2 或 C^3 = 0.
4. 用對(duì)角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP
比如第一題適合用第2種方法， A=(-1,1,1,-1)^T (1,-1,-1,1)
第二題適合用第4種方法， 這要學(xué)過(guò)特征值特征向量后才行
2.矩陣的n次冪如何算
把矩陣對(duì)角化后，n次方的矩陣就是里面每個(gè)元素的n次方 設(shè)一線性變換a，在基m下的矩陣為A，在基n下的矩陣為B,m到n的過(guò)渡矩陣為X，那么可以證明：B=X?1AX 那么定義：A,B是2個(gè)矩陣。
如果存在可逆矩陣X，滿足B=X?1AX ，那么說(shuō)A與B是相似的（是一種等價(jià)關(guān)系）。如果存在可逆矩陣X使A與一個(gè)對(duì)角矩陣B相似，那么說(shuō)A可對(duì)角化。
相應(yīng)的，如果線性變換a在基m下的矩陣為A，并且A相似于對(duì)角矩陣B，那么令X為過(guò)渡矩陣即可求出基n，并且在n下線性變換a的矩陣為對(duì)角矩陣，從而達(dá)到了化簡(jiǎn)。由 m * n 個(gè)數(shù)aij排成的m行n列的數(shù)表稱為m行n列的矩陣，簡(jiǎn)稱m * n矩陣。
記作：這m*n 個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，簡(jiǎn)稱為元，數(shù)aij位于矩陣A的第i行第j列，稱為矩陣A的（i,j）元，以數(shù) aij為（i,j）元的矩陣可記為（aij）或（aij）m * n,m*n矩陣A也記作Amn。元素是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。
而行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱為n階矩陣或n階方陣。擴(kuò)展資料：兩個(gè)矩陣的乘法僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣A的列數(shù)和另一個(gè)矩陣B的行數(shù)相等時(shí)才能定義。
如A是m*n矩陣和B是n*p矩陣，它們的乘積C是一個(gè)m*p矩陣 ，它的一個(gè)元素：并將此乘積記為： .例如：矩陣的乘法滿足以下運(yùn)算律：結(jié)合律： 左分配律： 右分配律： 矩陣乘法不滿足交換律。矩陣分解是將一個(gè)矩陣分解為比較簡(jiǎn)單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積 [15] ，矩陣的分解法一般有三角分解、譜分解、奇異值分解、滿秩分解等。
在線性代數(shù)中，相似矩陣是指存在相似關(guān)系的矩陣。相似關(guān)系是兩個(gè)矩陣之間的一種等價(jià)關(guān)系。
兩個(gè)n*n矩陣A與B為相似矩陣當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)n*n的可逆矩陣P，使得： 或 。參考資料：百度百科---矩陣。
3.線性代數(shù)矩陣的冪計(jì)算方法
一般有以下幾種方法
1. 計(jì)算A^2,A^3 找規(guī)律， 然后用歸納法證明
2. 若r(A)=1， 則A=αβ^T, A^n=（β^Tα）^（n-1）A
注： β^Tα =α^Tβ = tr（αβ^T）
3. 分拆法： A=B+C, BC=CB， 用二項(xiàng)式公式展開(kāi)
適用于 B^n 易計(jì)算， C的低次冪為零矩陣： C^2 或 C^3 = 0.
4. 用對(duì)角化 A=P^-1diagP
A^n = P^-1diag^nP
比如第一題適合用第2種方法， A=(-1,1,1,-1)^T (1,-1,-1,1)
第二題適合用第4種方法， 這要學(xué)過(guò)特征值特征向量后才行
4.線性代數(shù) 方陣的k次冪
【分析】求方陣k次冪1、若r(A)=1，則A^k = L^(k-1)A2、若A=B+kE ,B的主對(duì)角線元素及其另一半元素都為0，則A^k = (B+kE)^k，利用二項(xiàng)式定理。
3、利用相似對(duì)角陣來(lái)求解?！窘獯稹匡@然A是實(shí)對(duì)稱矩陣，必然可相似對(duì)角陣BP-1AP = B,B為-2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2α1是A屬于-2的特征向量，α2，α3，α4是A屬于2的特征向量。
令P=（α1，α2，α3，α4）P-1A^kP = B^k A^k = PB^kP-1newmanhero 2015年3月5日21:30:08希望對(duì)你有所幫助，望采納。
5.線性代數(shù) 方陣的k次冪
【分析】
求方陣k次冪
1、若r(A)=1，則A^k = L^(k-1)A
2、若A=B+kE ,B的主對(duì)角線元素及其另一半元素都為0，則A^k = (B+kE)^k，利用二項(xiàng)式定理。
3、利用相似對(duì)角陣來(lái)求解。
【解答】
顯然A是實(shí)對(duì)稱矩陣，必然可相似對(duì)角陣B
P-1AP = B,B為
-2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2
α1是A屬于-2的特征向量，α2，α3，α4是A屬于2的特征向量。令P=（α1，α2，α3，α4）
P-1A^kP = B^k
A^k = PB^kP-1
newmanhero 2015年3月5日21:30:08
希望對(duì)你有所幫助，望采納。
