基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)點(diǎn)(簡(jiǎn)介拓?fù)渲R(shí))
1.簡(jiǎn)介拓?fù)渲R(shí)
拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)的分支。
起初它是幾何學(xué)的一支，研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)（所謂連續(xù)變形，形象地說(shuō)就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合）；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。由于連續(xù)性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)方式與研究方法的多樣性，拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。
在拓?fù)鋵W(xué)的孕育階段，19世紀(jì)末，就拓?fù)湟殉霈F(xiàn)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)與組合拓?fù)鋵W(xué)兩個(gè)方向?，F(xiàn)在，前者演化為一般拓?fù)鋵W(xué)，后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。
后來(lái)，又相繼出現(xiàn)了微分拓樸學(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)等分支。拓?fù)鋵W(xué)的英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類(lèi)似的有關(guān)學(xué)科。
我國(guó)早期曾經(jīng)翻譯成“形勢(shì)幾何學(xué)”、“連續(xù)幾何學(xué)”、“一對(duì)一的連續(xù)變換群下的幾何學(xué)”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統(tǒng)一的《數(shù)學(xué)名詞》把它確定為拓?fù)鋵W(xué)，這是按音譯過(guò)來(lái)的。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同。
通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無(wú)關(guān)。
2.簡(jiǎn)單介紹一下拓?fù)鋵W(xué)
拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究圖形在連續(xù)變換下不變的性質(zhì)。
可參看百科的“拓?fù)洹被颉巴負(fù)鋵W(xué)”條目。我下面引述的例子不多作解釋?zhuān)梢灾苯硬榈健?/p>
例如，Euler的七橋問(wèn)題就是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的問(wèn)題，因?yàn)榘哑邩蜻B成路徑，不論橋和路如何連續(xù)的變化，都不影響問(wèn)題的結(jié)果，也就是說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題研究的是一個(gè)連續(xù)變換下不變的性質(zhì)。
又如，四色定理（地圖可用四色著色）是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的問(wèn)題，因?yàn)榈貓D中的區(qū)域大小和具體形狀在問(wèn)題中并不重要，都可以連續(xù)的變化，不改變地圖可以用四色著色這一性質(zhì)。
所以，在拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)下，圓和三角形的性質(zhì)沒(méi)有什么區(qū)別，輪胎和戒指的性質(zhì)沒(méi)有什么區(qū)別，因?yàn)樗鼈兌伎梢酝ㄟ^(guò)連續(xù)變換互相得到。
另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓?fù)鋵W(xué)，因?yàn)樵谶B續(xù)變換下，面積可以變化。同樣的道理，圖形的大小、平行、對(duì)稱(chēng)、垂直等等都不是拓?fù)鋵W(xué)的研究領(lǐng)域。
可以看到，拓?fù)鋵W(xué)研究的性質(zhì)對(duì)圖形的要求很低（一定程度變了形都沒(méi)關(guān)系），所以它的應(yīng)用范圍也就十分廣泛，因而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。以至于許多看起來(lái)跟幾何圖形沒(méi)多大關(guān)系的地方，也可以應(yīng)用拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)。如分析學(xué)中就大量使用點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的術(shù)語(yǔ)和手段。
拓?fù)鋵W(xué)因研究的領(lǐng)域和方法的不同，有一些分支。如一般拓?fù)鋵W(xué)，又稱(chēng)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，是研究一組抽象的“點(diǎn)”（可以是幾何上的，也可以不是）的拓?fù)湫再|(zhì)的；代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，利用代數(shù)學(xué)的手段研究拓?fù)湫再|(zhì)，如同倫論和同調(diào)論；微分拓?fù)鋵W(xué)，利用分析學(xué)的手段（主要是微分）研究拓?fù)湫再|(zhì)；幾何拓?fù)鋵W(xué)，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結(jié)；等等。
注：以上的敘述只是介紹，語(yǔ)言都是在數(shù)學(xué)上不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。?shí)際的拓?fù)鋵W(xué)研究中，像連續(xù)、變換、點(diǎn)等概念，都是需要嚴(yán)格定義的。
3.簡(jiǎn)介拓?fù)渲R(shí)
拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)性的分支。它最初是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。
拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢(shì)分析學(xué)，是萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀(jì)中期，黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)和積分就必須研究形勢(shì)分析學(xué)。從此開(kāi)始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究。
連續(xù)性和離散性是自然界與社會(huì)現(xiàn)象中普遍存在的。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)連續(xù)性數(shù)學(xué)是帶有根本意義的，對(duì)于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推動(dòng)作用。拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的常識(shí)。拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等學(xué)科中都有直接、廣泛的應(yīng)用。
4.簡(jiǎn)單介紹一下拓?fù)鋵W(xué)
拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，主要研究圖形在連續(xù)變換下不變的性質(zhì)。
可參看百科的“拓?fù)洹被颉巴負(fù)鋵W(xué)”條目。我下面引述的例子不多作解釋?zhuān)梢灾苯硬榈健?/p>
例如，Euler的七橋問(wèn)題就是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的問(wèn)題，因?yàn)榘哑邩蜻B成路徑，不論橋和路如何連續(xù)的變化，都不影響問(wèn)題的結(jié)果，也就是說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題研究的是一個(gè)連續(xù)變換下不變的性質(zhì)。又如，四色定理（地圖可用四色著色）是一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)的問(wèn)題，因?yàn)榈貓D中的區(qū)域大小和具體形狀在問(wèn)題中并不重要，都可以連續(xù)的變化，不改變地圖可以用四色著色這一性質(zhì)。
所以，在拓?fù)鋵W(xué)的觀點(diǎn)下，圓和三角形的性質(zhì)沒(méi)有什么區(qū)別，輪胎和戒指的性質(zhì)沒(méi)有什么區(qū)別，因?yàn)樗鼈兌伎梢酝ㄟ^(guò)連續(xù)變換互相得到。另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓?fù)鋵W(xué)，因?yàn)樵谶B續(xù)變換下，面積可以變化。
同樣的道理，圖形的大小、平行、對(duì)稱(chēng)、垂直等等都不是拓?fù)鋵W(xué)的研究領(lǐng)域?？梢钥吹剑?fù)鋵W(xué)研究的性質(zhì)對(duì)圖形的要求很低（一定程度變了形都沒(méi)關(guān)系），所以它的應(yīng)用范圍也就十分廣泛，因而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。
以至于許多看起來(lái)跟幾何圖形沒(méi)多大關(guān)系的地方，也可以應(yīng)用拓?fù)鋵W(xué)的知識(shí)。如分析學(xué)中就大量使用點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的術(shù)語(yǔ)和手段。
拓?fù)鋵W(xué)因研究的領(lǐng)域和方法的不同，有一些分支。如一般拓?fù)鋵W(xué)，又稱(chēng)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，是研究一組抽象的“點(diǎn)”（可以是幾何上的，也可以不是）的拓?fù)湫再|(zhì)的；代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，利用代數(shù)學(xué)的手段研究拓?fù)湫再|(zhì)，如同倫論和同調(diào)論；微分拓?fù)鋵W(xué)，利用分析學(xué)的手段（主要是微分）研究拓?fù)湫再|(zhì)；幾何拓?fù)鋵W(xué)，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結(jié)；等等。
注：以上的敘述只是介紹，語(yǔ)言都是在數(shù)學(xué)上不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。?shí)際的拓?fù)鋵W(xué)研究中，像連續(xù)、變換、點(diǎn)等概念，都是需要嚴(yán)格定義的。
5.什么是拓?fù)鋵W(xué),它到底是一個(gè)什么知識(shí)領(lǐng)域,誰(shuí)能給概括一下
拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)，是近代發(fā)展起來(lái)的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。
中文名稱(chēng)起源于希臘語(yǔ)Τοπολογ的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問(wèn)題。
發(fā)展至今，拓?fù)鋵W(xué)主要研究拓?fù)淇臻g在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)和不變量。 拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)的分支。
起初它是幾何學(xué)的一支，研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)（所謂連續(xù)變形，形象地說(shuō)就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合）；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。學(xué)科方向 由于連續(xù)性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)方式與研究方法的多樣性，拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對(duì)象與方法各異的若干分支。
19世紀(jì)末，在拓?fù)鋵W(xué)的孕育階段，就已出現(xiàn)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)與組合拓?fù)鋵W(xué)兩個(gè)方向。現(xiàn)在，前者演化為一般拓?fù)鋵W(xué)，后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。
后來(lái)，又相繼出現(xiàn)了微分拓樸學(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)等分支。 拓?fù)鋵W(xué)也是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究幾何圖形在連續(xù)改變形狀時(shí)還能保持不變的一些特性，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的距離和大小。
[英topology] 舉例來(lái)說(shuō)，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無(wú)論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。
在拓?fù)鋵W(xué)里沒(méi)有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，下面將要講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的時(shí)候，他畫(huà)的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。
這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。 簡(jiǎn)單地說(shuō)，拓?fù)渚褪茄芯坑行蔚奈矬w在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。
編輯本段拓?fù)鋵W(xué)的由來(lái) 幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。
那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問(wèn)題。
哥尼斯堡七橋問(wèn)題哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)。
人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這個(gè)看起來(lái)很簡(jiǎn)單又很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到。
看來(lái)要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。
歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)。
經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來(lái)的位置。并且給出了所有能夠一筆畫(huà)出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。
這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。 在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。
這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。
它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問(wèn)題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問(wèn)題。
四色問(wèn)題又稱(chēng)四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。中國(guó)曾邦哲于20世紀(jì)80-90年代（結(jié)構(gòu)論）將其命題轉(zhuǎn)換為“四色定理”等價(jià)于“互鄰面最大的多面體是四面體”的問(wèn)題。
拓?fù)鋵W(xué)四色猜想的提出來(lái)自于英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色?！?/p>
1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。
1878~1880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來(lái)數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。
不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。
進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話(huà)的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。
1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿(mǎn)足于計(jì)算機(jī)取。
