數(shù)的排列與組合(排列組合的)

1.排列組合的基礎知識

的確鬧笑話了，把題看錯了，向指正者表示謝意！ 組合： 從m個不同元素中，任取出n個成一組，稱為一個組合.這樣得到的不同組合的總數(shù)，稱組合數(shù)，一般表示成：C(m,n) C(m,n)=m(m-1)。

(m-n+1)/n!=m!/[n!(m-n)！] 排列： 從m個不同元素中，任取出n個，并按一定次序排成一列，稱為一個排列.這樣得到的不同排列的總數(shù)，稱排列數(shù)，一般表示成：P(m,n) P(m,n)=m(m-1)。(m-n+1)=m!/(m-n)!。

2.高二數(shù)學排列與組合知識點 跪求啊

排列組合問題的解題策略關鍵詞： 排列組合，解題策略 一、相臨問題——捆綁法例1.7名學生站成一排，甲、乙必須站在一起有多少不同排法？解：兩個元素排在一起的問題可用“捆綁”法解決，先將甲乙二人看作一個元素與其他五人進行排列，并考慮甲乙二人的順序，所以共有 種。

評注：一般地： 個人站成一排，其中某 個人相鄰，可用“捆綁”法解決，共有 種排法。二、不相臨問題——選空插入法例2. 7名學生站成一排，甲乙互不相鄰有多少不同排法？解：甲、乙二人不相鄰的排法一般應用“插空”法，所以甲、乙二人不相鄰的排法總數(shù)應為： 種 .評注：若 個人站成一排，其中 個人不相鄰，可用“插空”法解決，共有 種排法。

三、復雜問題——總體排除法在直接法考慮比較難，或分類不清或多種時，可考慮用“排除法”，解決幾何問題必須注意幾何圖形本身對其構成元素的限制。例3.(1996年全國高考題)正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中3個點為頂點的三角形共有多少個.解：從7個點中取3個點的取法有 種，但其中正六邊形的對角線所含的中心和頂點三點共線不能組成三角形，有3條，所以滿足條件的三角形共有 -3=32個.四、特殊元素——優(yōu)先考慮法 對于含有限定條件的排列組合應用題，可以考慮優(yōu)先安排特殊位置，然后再考慮其他位置的安排。

例4. (1995年上海高考題) 1名老師和4名獲獎學生排成一排照像留念，若老師不排在兩端，則共有不同的排法 種.解：先考慮特殊元素（老師）的排法，因老師不排在兩端，故可在中間三個位置上任選一個位置，有 種，而其余學生的排法有 種，所以共有 =72種不同的排法.例5.(2000年全國高考題)乒乓球隊的10名隊員中有3名主力隊員，派5名隊員參加比賽，3名主力隊員要安排在第一、三、五位置，其余7名隊員選2名安排在第二、四位置，那么不同的出場安排共有 種.解：由于第一、三、五位置特殊，只能安排主力隊員，有 種排法，而其余7名隊員選出2名安排在第二、四位置，有 種排法，所以不同的出場安排共有 =252種.五、多元問題——分類討論法對于元素多，選取情況多，可按要求進行分類討論，最后總計。例6.(2003年北京春招)某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（A ） A.42 B.30 C.20 D.12解：增加的兩個新節(jié)目，可分為相臨與不相臨兩種情況：1.不相臨：共有A62種；2.相臨：共有A22A61種。

故不同插法的種數(shù)為：A62 +A22A61=42 ，故選A。例7.(2003年全國高考試題)如圖， 一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（以數(shù)字作答）解：區(qū)域1與其他四個區(qū)域相鄰，而其他每個區(qū)域都與三個區(qū)域相鄰，因此，可以涂三種或四種顏色. 用三種顏色著色有 =24種方法， 用四種顏色著色有 =48種方法，從而共有24+48=72種方法，應填72.六、混合問題——先選后排法對于排列組合的混合應用題，可采取先選取元素，后進行排列的策略. 例8.(2002年北京高考)12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口4人，則不同的分配方案共有（ ） A. 種 B. 種 C. 種 D. 種解：本試題屬于均分組問題。

則12名同學均分成3組共有 種方法，分配到三個不同的路口的不同的分配方案共有： 種，故選A。例9.(2003年北京高考試題)從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，不同的種植方法共有（ ） A.24種 B.18種 C.12種 D.6種 解：先選后排，分步實施. 由題意，不同的選法有： C32種，不同的排法有： A31?A22，故不同的種植方法共有A31?C32?A22=12，故應選C.七.相同元素分配——檔板分隔法例10.把10本相同的書發(fā)給編號為1、2、3的三個學生閱覽室，每個閱覽室分得的書的本數(shù)不小于其編號數(shù)，試求不同分法的種數(shù)。

請用盡可能多的方法求解，并思考這些方法是否適合更一般的情況？本題考查組合問題。解：先讓2、3號閱覽室依次分得1本書、2本書；再對余下的7本書進行分配，保證每個閱覽室至少得一本書，這相當于在7本相同書之間的6個“空檔”內插入兩個相同“I”（一般可視為“隔板”）共有 種插法，即有15種分法。

總之，排列、組合應用題的解題思路可總結為：排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步為乘。具體說，解排列組合的應用題，通常有以下途徑：（1）以元素為主體，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素。

（2）以位置為主體，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置。（3）先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減去不合要求的排列組合數(shù)。

排列組合問題的解題方略湖北省安陸市第二高級中學 張征洪排列組合知識，廣泛應用于實際，掌握好排列組合知識，能幫助我們在生產生活中，解決許多實際應用問題。同時排列組合問題歷來就是一個老大難的問題。

因此有必要對排列組合問題的解題規(guī)律和解題方法作一點歸納和總結，以期充分掌握排列組合知識。首先，談談排列組合綜合問題的一般解題規(guī)律：1）使用“分類計數(shù)原理”還。

3.做數(shù)學中排列和組合的計數(shù)問題有什么技巧可以抓的

1.排列、排列數(shù)的定義，排列數(shù)的兩個計算公式； 2.常見的排隊的三種題型： ⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置——優(yōu)限法； ⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）——捆綁法； ⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）——插空法. 3.分類、分布思想的應用. 二、新授： 示例一： 從10個不同的文藝節(jié)目中選6個編成一個節(jié)目單，如果某女演員的獨唱節(jié)目一定不能排在第二個節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？ 解法一：（從特殊位置考慮） 解法二：（從特殊元素考慮）若選： 若不選： 則共有 + =136080 解法三：（間接法） 136080 示例二： ⑴ 八個人排成前后兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在后排， 則共有多少種不同的排法？ 略解：甲、乙排在前排 ；丙排在后排 ；其余進行全排列 . 所以一共有 =5760種方法. ⑵ 不同的五種商品在貨架上排成一排，其中a, b兩種商品必須排在一起，而c, d兩種商品不排在一起， 則不同的排法共有多少種？ 略解：（“捆綁法”和“插空法”的綜合應用）a, b捆在一起與e進行排列有 ； 此時留下三個空，將c, d兩種商品排進去一共有 ；最后將a, b“松綁”有 .所以一共有 =24種方法. ☆⑶ 6張同排連號的電影票，分給3名教師與3名學生，若要求師生相間而坐，則不同的坐法有多少種？ 略解：（分類）若第一個為老師則有 ；若第一個為學生則有 所以一共有2 =72種方法. 示例三： ⑴ 由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字的正整數(shù)？ 略解： ⑵ 由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字，并且比13 000大的正整數(shù)？ 解法一：分成兩類，一類是首位為1時，十位必須大于等于3有 種方法；另一類是首位不為1，有 種方法.所以一共有 個數(shù)比13 000大. 解法二：（排除法）比13 000小的正整數(shù)有 個，所以比13 000大的正整數(shù)有 =114個. 示例四： 用1,3,6,7,8,9組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，由小到大排列. ⑴ 第114個數(shù)是多少？ ⑵ 3 796是第幾個數(shù)？ 解：⑴ 因為千位數(shù)是1的四位數(shù)一共有 個，所以第114個數(shù)的千位數(shù)應該是“3”，十位數(shù)字是“1”即“31”開頭的四位數(shù)有 個；同理，以“36”、“37”、“38”開頭的數(shù)也分別有12個，所以第114個數(shù)的前兩位數(shù)必然是“39”，而“3 968”排在第6個位置上，所以“3 968” 是第114個數(shù). ⑵ 由上可知“37”開頭的數(shù)的前面有60+12+12=84個，而3 796在“37”開頭的四位數(shù)中排在第11個（倒數(shù)第二個），故3 796是第95個數(shù). 示例五： 用0,1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中 ⑴ 能被25整除的數(shù)有多少個？ ⑵ 十位數(shù)字比個位數(shù)字大的有多少個？ 解： ⑴ 能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50兩種，末尾為50的四位數(shù)有 個，末尾為25的有 個，所以一共有 + =21個. 注： 能被25整除的四位數(shù)的末兩位只能為25,50,75,00四種情況. ⑵ 用0,1,2,3,4,5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，一共有 個.因為在這300個數(shù)中，十位數(shù)字與個位數(shù)字的大小關系是“等可能的”，所以十位數(shù)字比個位數(shù)字大的有 個. 三、小結：能夠根據題意選擇適當?shù)呐帕蟹椒?，同時注意考慮問題的全面性，此外能夠借助一題多解檢驗答案的正確性. 四、作業(yè)：“3+X”之 排列 練習 組 合 課題：組合、組合數(shù)的綜合應用⑵ 目的：對排列組合知識有一個系統(tǒng)的了解，掌握排列組合一些常見的題型及解題方法，能夠運用兩個原理及排列組合概念解決排列組合問題. 過程： 一、知識復習： 1.兩個基本原理； 2.排列和組合的有關概念及相關性質. 二、例題評講： 例1.6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法： ⑴ 分給甲、乙、丙三人，每人兩本； ⑵ 分為三份，每份兩本； ⑶ 分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本； ⑷ 分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本； ⑸ 分給甲、乙、丙三人，每人至少一本. 解：⑴ 根據分步計數(shù)原理得到： 種. ⑵ 分給甲、乙、丙三人，每人兩本有 種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有 種方法.根據分步計數(shù)原理可得： ，所以 .因此分為三份，每份兩本一共有15種方法. 注：本題是分組中的“均勻分組”問題. ⑶ 這是“不均勻分組”問題，一共有 種方法. ⑷ 在⑶的基礎上在進行全排列，所以一共有 種方法. ⑸ 可以分為三類情況：①“2、2、2型”即⑴中的分配情況，有 種方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情況，有 種方法；③“1、1、4型”，有 種方法.所以一共有90+360+90=540種方法. 例2.身高互不相同的7名運動員站成一排，甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？ 解：（插空法）現(xiàn)將其余4個同學進行全排列一共有 種方法，再將甲、乙、丙三名同學插入5個空位置中（但無需要進行排列）有 種方法.根據分步計數(shù)原理，一共有 =240種方法. 例3.⑴ 四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？ ⑵ 四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？ 解：⑴ 根據分步計數(shù)原理：一共有 種方法. ⑵（捆綁法）第一步從四個不同的小球中任取兩個“捆綁”在一起看成一個元素有 種方法，第二步從四個不同的盒取其中的三個將球。

4.排列與組合的歸納總結（有不同例題講解）

同步教學

主講人：黃岡中學教師 李新潮

一、一周知識概述

本周復習內容是高二數(shù)學（下）第十章——排列、組合和概率的前半部分內容.排列與組合是重點，也是難點，復習中用時較多.

二、重、難點知識的歸納與剖析

（一）、本周學習的重點

1、掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應用問題.

2、理解排列的意義，掌握排列計算公式，并能用它解決一些簡單的應用問題.

3、理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質，并能用它們解決一些簡單的應用問題.

4、掌握二項式定理和二項展開式的性質，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.

（二）、本周學習的難點

1、排列與組合的綜合應用

(1)相鄰問題——捆綁法；

(2)不相鄰問題——插空法；

(3)元素比較少而限制條件較多的問題——枚舉歸納法；

(4)先組合，后排列，其求解的基本思路是先選元，后排列，或先局部，后整體；

(5)分類討論要注重一類，照應全局.

2、正確理解二項式的展開式特征及指數(shù)、項數(shù)、項、系數(shù)、二項式系數(shù)，能熟練順用、逆用，并注意

變用二項式定理.

三、例題點評

例1、某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A，有5次出牌機會，每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限，此人有多少種不同的出牌方法？

分析：

由于張數(shù)不限，2張2,3張A可以一起出，亦可分幾次出，可以考慮按此分類.

解答：

出牌的方法可分為以下幾類：

(1)5張牌全部分開出，有種方法；

(2)2張2一起出，3張A一起出，有種方法；

(3)2張2一起出，3張A分開出，有種方法；

(4)2張2一起出，3張A分兩次出，有種方法；

(5)2張2分開出，3張A一起出，有種方法；

(6)2張2分開出，3張A分兩次出，有種方法.

因此，共有不同的出牌方法

=860種.

點評：

全面細致地分類是解決本題的關鍵，若按出牌次數(shù)分類，方法數(shù)為：

=860種.

例2、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的系數(shù)a,b,c在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中選取3個不同的值，則可確定坐標原點在拋物線內部的拋物線多少條？

分析：

先將坐標原點在拋物線內部的特征性質等價轉化為 a,b,c的限制，再去確定滿足條件的數(shù)對（a,b,c）.

解答：

由圖形特征分析：a>0，開口向上，坐標原點在內部，開口向下，原點在內部，所以對于拋物線y=ax2+bx+c來講，原點在其內部，則確定拋物線時，可先定一正一負的a和c，再確定b，故滿足題設的拋物線共有=144條.

點評：

這是一首排列、組合與解析幾何的綜合題，等價的將圖形性質轉化為數(shù)量關系是解決問題的基礎和關鍵.

例3、若在的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項.

分析：抓住展開式的通項公式是解決問題的關鍵.

解答：

的展開式中前三項是：

其系數(shù)分別是：

由

解之得n=1或n=8,n=1不合題意應舍去，故n=8.

當n=8時，

Tr+1為有理項式的充要條件是，

所以r應是4的倍數(shù)，故r可為0、4、8.故所有有理項為

點評：要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別.

實在看不懂去參考資料看看

5.高中數(shù)學 排列組合

排列組合 - 組合數(shù)的奇偶 對組合數(shù)C(n,k) (n>=k)：將n,k分別化為二進制，若某二進制位對應的n為0，而k為1 ，則C(n,k)為偶數(shù)；否則為奇數(shù)。

組合數(shù)的奇偶性判定方法為： 結論： 對于C(n,k)，若n&k == k 則c(n,k)為奇數(shù)，否則為偶數(shù)。 證明： 利用數(shù)學歸納法： 由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1)； 對應于楊輝三角： 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ……………… 可以驗證前面幾層及k = 0時滿足結論，下面證明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 滿足結論的情況下， C(n,k)滿足結論。

1）.假設C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為奇數(shù)： 則有：（n-1）&k == k; (n-1)&(k-1) == k-1； 由于k和k-1的最后一位（在這里的位指的是二進制的位，下同）必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1 。 現(xiàn)假設n&k == k。

則同樣因為n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。 因為n-1的最后一位是1，則n的最后一位是0，所以n&k != k，與假設矛盾。

所以得n&k != k。 2）.假設C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為偶數(shù)： 則有：（n-1）&k != k; (n-1)&(k-1) != k-1； 現(xiàn)假設n&k == k. 則對于k最后一位為1的情況： 此時n最后一位也為1，所以有（n-1）&(k-1) == k-1，與假設矛盾。

而對于k最后一位為0的情況： 則k的末尾必有一部分形如：10； 代表任意個0。 相應的，n對應的部分為： 1{*}*； *代表0或1。

而若n對應的{*}*中只要有一個為1，則（n-1）&k == k成立，所以n對應部分也應該是10。 則相應的，k-1和n-1的末尾部分均為01，所以（n-1）&(k-1) == k-1 成立，與假設矛盾。

所以得n&k != k。 由1）和2）得出當C(n,k)是偶數(shù)時，n&k != k。

3）.假設C(n-1,k)為奇數(shù)而C(n-1,k-1)為偶數(shù)： 則有：（n-1）&k == k; (n-1)&(k-1) != k-1； 顯然，k的最后一位只能是0，否則由（n-1）&k == k即可推出（n-1）&(k-1) == k-1。 所以k的末尾必有一部分形如：10； 相應的，n-1的對應部分為： 1{*}*； 相應的，k-1的對應部分為： 01； 則若要使得（n-1）&(k-1) != k-1 則要求n-1對應的{*}*中至少有一個是0. 所以n的對應部分也就為 ： 1{*}*； （不會因為進位變1為0） 所以 n&k = k。

4）.假設C(n-1,k)為偶數(shù)而C(n-1,k-1)為奇數(shù)： 則有：（n-1）&k != k; (n-1)&(k-1) == k-1； 分兩種情況： 當k-1的最后一位為0時： 則k-1的末尾必有一部分形如： 10； 相應的，k的對應部分為 ： 11； 相應的，n-1的對應部分為 ： 1{*}0； （若為1{*}1，則（n-1）&k == k） 相應的，n的對應部分為 ： 1{*}1； 所以n&k = k。 當k-1的最后一位為1時： 則k-1的末尾必有一部分形如： 01； （前面的0可以是附加上去的） 相應的，k的對應部分為 ： 10； 相應的，n-1的對應部分為 ： 01； （若為11，則（n-1）&k == k） 相應的，n的對應部分為 ： 10； 所以n&k = k。

由3),4）得出當C(n,k)為奇數(shù)時，n&k = k。 綜上，結論得證！ 排列組合 - 概述 定義 公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列（即排序）。

公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列（即不排序）。 排列：從N個不同元素中，任取M(M<=N)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從N個不同元素中取出M個元素的一個排列。

排列數(shù)：從N個不同元素中取出M(M<=N)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從N個不同元素中取出M個元素的排列數(shù)。記作：Pmn 排列數(shù)公式： Pmn =n(n-1)(n-2)。

(n-m+1) 全排列：N個不同元素全部取出的一個排列，叫做N個不同元素的一個全排列。 自然數(shù)1到N的連乘積，叫做N的階乘。

記作：n! (0!=1) 全排列公式： Pnn =n！ 排列數(shù)公式還可寫成： Pmn = n!/(n-m)！ 加法原理：做一件事，完成它可以有N類加法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中有M2種不同的方法，。，在第N類辦法中有MN 種不同的方法。

那么完成這件事共有 N=M1+M2+。+MN 種不同的方法。

乘法原理：做一件事，完成它需要分成N個步驟，做第一步有M1種不同的方法，做第二步有M2種不同的方法，。，做第N步有MN種不同的方法，那么完成這件事共有 N=M1*M2*。

*MN 種不同的方法。 C-組合數(shù) P-排列數(shù) N-元素的總個數(shù) R參與選擇的元素個數(shù) ！-階乘 ，如5!=5*4*3*2*1=120組合：從N個不同元素中，任取M(M<=N)個元素并成一組，叫做從N個不同元素中取出M個元素的一個組合。

排列 與元素的順序有關， 組合 與元素的順序無關。 組合數(shù)：從N個不同元素中取出M(M<=N)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從N個不同元素中取出M個元素的組合數(shù)。

記作：Cmn 組合數(shù)公式： Cmn = Pmn / Pmm = n(n-1)(n-2)。(n-m+1)/m! = n!/m!/(n-m)！ 組合性質1: Cmn = Cn-mn ( C0n =1) 組合性質2: Cmn+1 = Cmn + Cm-1n C-Combination 組合 P-Permutation 排列 排列的變化排列的變化，排列數(shù)“P”現(xiàn)在已成了“A”,P是舊用法，現(xiàn)在教材上多用A，即Arrangement也就是說，“P 3 3”已成了“A 3 3”.高考、中考也是這樣，希望大家改過來！ 小學排列組合公式 1、“C m n”=“C m (m-n)” 2、“C m 0(m大于0)”=1 3、“C m 0”+“C m 1”+。

+“C m 10”=2的m次方 排列組合 - 舉例分析 理論依據 排列、組合的概念具有廣泛的實際意義，解決排列、組合問題，關鍵要搞清楚是否。

6.排列組合必背常用數(shù)

排列組合必背常用數(shù)：對于有限制條件的元素（或位置）優(yōu)先考慮，再去解決其它元素（或位置）。

要求元素相鄰時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個大元素進行排序，然后再考慮大元素內部各元素間順序。排列組合是組合學最基本的概念。

所謂排列，就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。組合則是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序。

排列組合的中心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。 排列組合與古典概率論關系密切。