近世代數(shù)點(diǎn)講解(近世代數(shù)的內(nèi)容)

1.近世代數(shù)的內(nèi)容

近世代數(shù)內(nèi)容包括：

整數(shù)、多項(xiàng)式、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、矩陣代數(shù)、線性群、行列式和標(biāo)準(zhǔn)型、布爾代數(shù)和格、超限算術(shù)、環(huán)和理想、代數(shù)數(shù)域和伽羅華理論等。

近世代數(shù)簡介：

近世代數(shù)即抽象代數(shù)。 代數(shù)是數(shù)學(xué)的其中一門分支，當(dāng)中可大致分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程組是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質(zhì)等問題。法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運(yùn)用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問題。他是第一個提出「群」的思想的數(shù)學(xué)家，一般稱他為近世代數(shù)創(chuàng)始人。他使代數(shù)學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué)，即把代數(shù)學(xué)由初等代數(shù)時期推向抽象代數(shù)即近世代數(shù)時期。

2.近世代數(shù)包括哪些方面?

抽象代數(shù)即近世代數(shù)。

代數(shù)〔Algebra〕是數(shù)學(xué)的其中一門分支，當(dāng)中可大致分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。 初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前發(fā)展的方程理論，主要研究某一方程〔組〕是否可解，如何求出方程所有的根〔包括近似根〕，以及方程的根有何性質(zhì)等問題。

法國數(shù)學(xué)家伽羅瓦〔1811-1832〕在1832年運(yùn)用「群」的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性問題。他是第一個提出「群」的思想的數(shù)學(xué)家，一般稱他為近世代數(shù)的創(chuàng)始人。

他使代數(shù)學(xué)由作為解方程的科學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯看鷶?shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué)，即把代數(shù)學(xué)由初等代數(shù)時期推向抽象代數(shù)即近世代數(shù)時期。 抽象代數(shù)學(xué)對于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)和一些其它科學(xué)領(lǐng)域都有重要的影響。

抽象代數(shù)學(xué)隨著數(shù)學(xué)中各分支理論的發(fā)展和應(yīng)用需要而得到不斷的發(fā)展。經(jīng)過伯克霍夫、馮.諾伊曼、坎托羅維奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格論確定了在代數(shù)學(xué)的地位。

而自20世紀(jì)40年代中葉起，作為線性代數(shù)的推廣的模論得到進(jìn)一步的發(fā)展并產(chǎn)生深刻的影響。泛代數(shù)、同調(diào)代數(shù)、范疇等新領(lǐng)域也被建立和發(fā)展起來。

中國數(shù)學(xué)家在抽象代數(shù)學(xué)的研究始于30年代。當(dāng)中已在許多方面取得了有意義和重要的成果，其中尤以曾炯之、華羅庚和周煒良的工作更為顯著。

============================================================== 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程正在更新。50年代數(shù)學(xué)系的教學(xué)計劃，以“高等微積分”、“高等代數(shù)”、“高等幾何”為主體。

時至今日，人們認(rèn)為光靠這“老三高”已不夠用了，應(yīng)該發(fā)展“新三高”，即抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)理論是由這三根支柱撐著的。

現(xiàn)在，我們來追尋它們形成和發(fā)展的歷史足跡，并從這一側(cè)面窺視20世紀(jì)數(shù)學(xué)的特征。 一、抽象代數(shù) 抽象代數(shù)在上一個世紀(jì)已經(jīng)有了良好的開端，伽羅瓦在方程求根中就蘊(yùn)蓄了群的概念。

后來凱利對群作了抽象定義（Cayley,1821~1895）。他在1849年的一項(xiàng)工作里提出抽象群的概念，可惜沒有引起反響。

“過早的抽象落到了聾子的耳朵里”。直到1878年，凱利又寫了抽象群的四篇文章才引起注意。

1874年，挪威數(shù)學(xué)家索甫斯·李（Sophus Lie, 1842~1899）在研究微分方程時，發(fā)現(xiàn)某些微分方程解對一些連續(xù)變換群是不變的，一下子接觸到連續(xù)群。1882年，英國的馮·戴克（von Dyck,1856~1934）把群論的三個主要來源—方程式論，數(shù)論和無限變換群—納入統(tǒng)一的概念之中，并提出“生成元”概念。

20世紀(jì)初給出了群的抽象公里系統(tǒng)。 群論的研究在20世紀(jì)沿著各個不同方向展開。

例如，找出給定階的有限群的全體。群分解為單群、可解群等問題一直被研究著。

有限單群的分類問題在20世紀(jì)七、八十年代才獲得可能是最終的解決。伯恩賽德（Burnside,1852~1927年）曾提出過許多問題和猜想。

如1902年問道一個群G是有限生成且每個元素都是有限階，G是不是有限群？并猜想每一個非交換的單群是偶數(shù)階的。前者至今尚未解決，后者于1963年解決。

舒爾（Schur,1875~1941）于1901年提出有限群表示的問題。群特征標(biāo)的研究由弗羅貝尼烏斯首先提出。

龐加萊對群論抱有特殊的熱情，他說：“群論就是那摒棄其內(nèi)容而化為純粹形式的整個數(shù)學(xué)?！边@當(dāng)然是過分夸大了。

抽象代數(shù)的另一部分是域論。1910年施泰尼茨（Steinitz,1871~1928）發(fā)表《域的代數(shù)理論》，成為抽象代數(shù)的重要里程碑。

他提出素域的概念，定義了特征數(shù)為P的域，證明了每個域可由其素域經(jīng)添加而得。 環(huán)論是抽象代數(shù)中較晚成熟的。

盡管環(huán)和理想的構(gòu)造在19世紀(jì)就可以找到，但抽象理論卻完全是20世紀(jì)的產(chǎn)物。韋德伯恩（Wedderburn,1882~1948）《論超復(fù)數(shù)》一文中，研究了線形結(jié)合代數(shù)，這種代數(shù)實(shí)際上就是環(huán)。

環(huán)和理想的系統(tǒng)理論由諾特給出。她開始工作時，環(huán)和理想的許多結(jié)果都已經(jīng)有了，但當(dāng)她將這些結(jié)果給予適當(dāng)?shù)拇_切表述時，就得到了抽象理論。

諾特把多項(xiàng)式環(huán)的理想論包括在一般理想論之中，為代數(shù)整數(shù)的理想論和代數(shù)整函數(shù)的理想論建立了共同的基礎(chǔ)。諾特對環(huán)和理想作了十分深刻的研究。

人們認(rèn)為這一總結(jié)性的工作在1926年臻于完成，因此，可以認(rèn)為抽象代數(shù)形成的時間為1926年。范德瓦爾登根據(jù)諾特和阿廷的講稿，寫成《近世代數(shù)學(xué)》一書，（1955年第四版時改名為《代數(shù)學(xué)》），其研究對象從研究代數(shù)方程根的計算與分布進(jìn)到研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算規(guī)律和各種代數(shù)結(jié)構(gòu)。

這就發(fā)生了質(zhì)變。由于抽象代數(shù)的一般性，它的方法和結(jié)果帶有基本的性質(zhì)，因而滲入到各個不同的數(shù)學(xué)分支。

范德瓦爾登的《代數(shù)學(xué)》至今仍是學(xué)習(xí)代數(shù)的好書。人們從抽象代數(shù)奠基人——諾特、阿廷等人燦爛的成果中吸取到了營養(yǎng)，從那以后，代數(shù)研究有了長足進(jìn)展。

=============================================================== 抽象代數(shù) 抽象代數(shù)又稱近世代數(shù)，它產(chǎn)生于十九世紀(jì)。 抽象代數(shù)是研究各種抽象的公理化代數(shù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科。

由于代數(shù)可處理實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)以外的物集，例如向量、矩陣超數(shù)、變換等，這些物集的分別是依它們各有的演算定律而定，而數(shù)學(xué)家將個別的演算經(jīng)由抽。

3.怎樣學(xué)好近世代數(shù)

1.課前做好預(yù)習(xí)工作。

2.上課時一定要注意聽，做好筆記。

3.因?yàn)榻来鷶?shù)節(jié)與節(jié)聯(lián)系性很強(qiáng)，像群，環(huán)，域，。。。其實(shí)這幾節(jié)學(xué)好群其他兩節(jié)類似這樣學(xué)就行了。

4.有什么不明白的一定要請教老師，同學(xué)。

5.課后習(xí)題一定按質(zhì)按量完成，不懂就要問。

6.如果覺得自己的老師講的不透徹，可以下一下北師大講課的視屏。想鞏固擴(kuò)展也可以在網(wǎng)上下一些試卷，考題。。。。

做到以上這些，我想你的近世代數(shù)一定沒問題了。

祝你成功！