關(guān)于數(shù)學(xué)圓的的(高中數(shù)學(xué)中有關(guān)圓的知識(shí))
1.高中數(shù)學(xué)中有關(guān)圓的知識(shí)
〖圓的定義〗 幾何說(shuō)：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。
定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑。 軌跡說(shuō)：平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心，一定長(zhǎng)為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱為圓周，簡(jiǎn)稱圓。
集合說(shuō)：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。 〖圓的相關(guān)量〗 圓周率：圓周長(zhǎng)度與圓的直徑長(zhǎng)度的比叫做圓周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，計(jì)算中常取3.1416為它的近似值。
圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。
圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。
內(nèi)心和外心：過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。
扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。
這個(gè)扇形的半徑成為圓錐的母線。 〖圓和圓的相關(guān)量字母表示方法〗 圓—⊙ 半徑—r 弧—⌒ 直徑—d 扇形弧長(zhǎng)/圓錐母線—l 周長(zhǎng)—C 面積—S 〖圓和其他圖形的位置關(guān)系〗 圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O內(nèi)，PO直線與圓有3種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。
以直線AB與圓O為例（設(shè)OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO>r;AB與⊙O相切，PO=r;AB與⊙O相交，PO兩圓之間有5種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r【圓的平面幾何性質(zhì)和定理】 〖有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理〗 圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。 圓的對(duì)稱性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。
圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。
逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。 〖有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理〗 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。
一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。 直徑所對(duì)的圓周角是直角。
90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 〖有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理〗 一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。
外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。 〖有關(guān)切線的性質(zhì)和定理〗 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑；經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個(gè)圓的切線。
切線判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。 切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
切線的長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長(zhǎng)相等。 〖有關(guān)圓的計(jì)算公式〗 1.圓的周長(zhǎng)C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr2 3.扇形弧長(zhǎng)l=nπr/180 4.扇形面積S=nπr2/360=rl/2 5.圓錐側(cè)面積S=πrl 【圓的解析幾何性質(zhì)和定理】 〖圓的解析幾何方程〗 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-a）^2+(y-b)^2=r^2。
圓的一般方程：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比，其實(shí)D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2。
圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。 〖圓與直線的位置關(guān)系判斷〗 平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0。
利用判別式b^2-4ac的符號(hào)可確定圓與直線的位置關(guān)系如下： 如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點(diǎn)，即圓與直線相交。 如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點(diǎn)，即圓與直線相切。
如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點(diǎn)，即圓與直線相離。 2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y軸（或垂直于x軸），將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此時(shí)的兩個(gè)x值x1、x2，并且規(guī)定x1<x2，那么： 當(dāng)x=-C/Ax2時(shí)，直線與圓相離； 當(dāng)x1<x=-C/A<x2時(shí)，直線與圓相交； 半徑r，直徑d 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圓半徑 余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （x-a）^2+(y-b)^2=^r2 注：（a,b）是圓心。
2.數(shù)學(xué)圓,知識(shí)點(diǎn)
4、弓形面積1) S弓形=S扇形-SΔOAB 2) S弓形=S扇形+SΔOAB 二、圓錐的側(cè)面積和全面積1 把矩形ABCD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周得到的圖形叫做圓柱.旋轉(zhuǎn)軸直線AB叫做它的軸. 2 在軸AB上的矩形的邊AB的長(zhǎng)度叫做它的高.平行于軸的邊DC旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做它的側(cè)面，無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條邊都叫做圓柱的母線. 3 垂直于軸的邊AD,BC旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做它的底面 4、圓錐是由一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面圍成的，我們把圓錐 底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線叫做圓錐 的母線.連結(jié)頂點(diǎn)與底面圓心的線段叫做圓錐的高. 沿著圓錐的母線，把一個(gè)圓錐的側(cè)面展開，得到一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，而扇形的半徑等于圓錐的母線的長(zhǎng). 圓錐的側(cè)面積就是弧長(zhǎng)為圓錐底面的周長(zhǎng)、半徑為圓錐的一條母線的長(zhǎng)的扇形面積，而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積的和. 5.設(shè)底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則 S側(cè)= l·2πr=πrl S全=πrl+πr 數(shù)量關(guān)系：外離：d>R+r四條公切線 外切：d=R+r三條公切線 相交：R-r內(nèi)切：d=R-r一條公切線 內(nèi)含：d6、兩圓相交的性質(zhì)定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦. 7、公切線的性質(zhì) （1）如果兩圓有兩條外公切線，那么這兩條外公切線長(zhǎng)相等；如果兩圓有兩條內(nèi)公切線，那么這兩條內(nèi)公切線長(zhǎng)相等. （2）如果兩圓有兩條外（內(nèi)）公切線，并且相交，那么交點(diǎn)一定在兩圓的連心線上，并且連心線平分這兩條公切線的夾角. 8、相交弦定理及其推論定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的 積相等（PA·PB=PC·PD）. 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直 徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)（PC2=PD2=PA·PB）. 9、切割線定理及推論定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng) 是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例 中項(xiàng)（PA2=PB·PC或PA2=PD·PE）. 推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到兩條割 線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等 （PB·PC=PD·PE）.圓的有關(guān)性質(zhì) 一，〖知識(shí)點(diǎn)〗圓、圓的對(duì)稱性、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 〖大綱要求〗 1. 正確理解和應(yīng)用圓的點(diǎn)集定義，掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系； 2. 熟練地掌握確定一個(gè)圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點(diǎn)。
一個(gè) 圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個(gè)條件確定一條直線，三個(gè)條件確定一個(gè)圓，過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓存在并且唯一； 3. 熟練地掌握和靈活應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直徑是半 徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一條直線都是對(duì)稱軸；圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是對(duì)稱中心；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；垂徑定理及其推論；圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系； 4. 掌握和圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等于同（等）弧上的 圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑； 5. 掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：它溝通了圓內(nèi)外圖形的關(guān)系，并能應(yīng)用它解決有關(guān) 問(wèn)題； 6. 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦①在“過(guò)圓心”②“垂直于另一條弦” ③“平分這另一條弦”④“平分這另一條弦所對(duì)的劣弧”⑤“ 平分這另一條弦所對(duì)的優(yōu)弧”的五個(gè)條件中任意具有兩個(gè)條件，則必具有另外三個(gè)結(jié)論（當(dāng)①③為條件時(shí)要對(duì)另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡(jiǎn)化了對(duì)它實(shí)際代表的10條定理的記憶且便于解題時(shí)的靈活應(yīng)用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系等的重要依據(jù)；（2）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到它所對(duì)的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過(guò)它的端點(diǎn)若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個(gè)點(diǎn)在圓上想到有4組相等的同弧所對(duì)的圓周角，要想到應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。 〖考查重點(diǎn)與常見題型〗 1. 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學(xué) 生對(duì)基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語(yǔ)句中，正確的有（ ） （A）相等的圓心角所對(duì)的弧相等 （B）平分弦的直徑垂直于弦 （C）長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 （D）弦過(guò)圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸 2. 論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。
此種結(jié)論的證明重 點(diǎn)考查了全等三角形和相似三角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識(shí)，常以解答題形式出現(xiàn)。 二，〖知識(shí)點(diǎn)〗 相交弦定理、切割線定理及其推論 〖大綱要求〗 1. 正誤相交弦定理、切割線定理及其推論； 2. 了解圓冪定理的內(nèi)在聯(lián)系； 3. 熟練地應(yīng)用定理解決有關(guān)問(wèn)題； 4. 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似 三角形結(jié)合的產(chǎn)物。
這幾個(gè)定理可統(tǒng)一記憶成一個(gè)定理：過(guò)圓內(nèi)或圓外一點(diǎn)作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦。
3.小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)關(guān)于圓的知識(shí)點(diǎn)
、圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。
2、圓心：圓任意兩條對(duì)稱軸的交點(diǎn)為圓心。 注：圓心一般符號(hào)O表示
3、直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。
4、半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。
5、圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。圓是軸對(duì)稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸
6、在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=d/2。
7、圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。
8、圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用字母C表示。
9、圓周率：圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。
10、圓的周長(zhǎng)除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)（無(wú)理數(shù)），用字母π表示。計(jì)算時(shí)，通常取它的近似值，π≈3.14。
11、直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
12、圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2；，用字母S表示。
13、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。
14、在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。
二、周長(zhǎng)計(jì)算公式
(1)已知直徑：C=πd
(2)已知半徑：C=2πr
(3)已知周長(zhǎng)：D=c/π
(4)圓周長(zhǎng)的一半：1/2周長(zhǎng)（曲線）
(5)半圓的周長(zhǎng)：1/2周長(zhǎng)+直徑（π÷2+1）
三、面積計(jì)算公式：
(1)已知半徑：S=πr2
(2)已知直徑：S=π（d/2）2
(3)已知周長(zhǎng)：S=π[c÷（2π）]2
4.高中數(shù)學(xué)圓的基本知識(shí)與分類練習(xí)
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高一數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)之一——圓
一.基本知識(shí)之關(guān)于圓的方程
1.圓心為，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.特殊地，
當(dāng)時(shí)，圓心在原點(diǎn)的圓的方程為：.
2.圓的一般方程，其中.
圓心為點(diǎn)，半徑，
3.二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：
①項(xiàng)項(xiàng)的系數(shù)相同且不為，即；②沒有項(xiàng)，即；③.
4.圓：的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
特殊地，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.
5.圓系方程：過(guò)圓：與圓：交點(diǎn)的圓系方程是（不含圓），
當(dāng)時(shí)圓系方程變?yōu)閮蓤A公共弦所在直線方程.
二.基本知識(shí)之關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系|相切|相交|相離|
幾何特征|代數(shù)特征|
將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：
直線截圓所得弦長(zhǎng)的計(jì)算方法：
①利用弦長(zhǎng)計(jì)算公式：設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，
則弦；
②利用垂徑定理和勾股定理：（其中為圓的半徑，直線到圓心的距離）.
3.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的半徑分別為和，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：
位置關(guān)系|外離|外切|相交|內(nèi)切|內(nèi)含|
幾何特征|代數(shù)特征|無(wú)實(shí)數(shù)解|一組實(shí)數(shù)解|兩組實(shí)數(shù)解|一組實(shí)數(shù)解|無(wú)實(shí)數(shù)解|
三.分類例題練習(xí)解：（
5.六年級(jí)數(shù)學(xué)圓的知識(shí)歸納
1、圓：圓是由一條曲線圍成的平面圖形。
（長(zhǎng)方形、梯形等都是由幾條線段圍成的平面圖形）
2、半徑：一端在圓心，一端在圓上的線段叫半徑。在同一圓里，半徑有無(wú)數(shù)條，條條都相等。
3、直徑：通過(guò)圓心，兩端都在圓上的線段叫直徑。在同一圓里，直徑有無(wú)數(shù)條，條條都相等。
在同一圓里，直徑長(zhǎng)是半徑長(zhǎng)的2倍。（d=2r, r=d÷2）
4、圓是軸對(duì)稱圖形，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，對(duì)稱軸就是直徑。
5、圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。
6、正方形里最大的圓。兩者聯(lián)系：邊長(zhǎng)=直徑
7、長(zhǎng)方形里最大的圓。兩者聯(lián)系：寬=直徑
8、直徑是圓里最長(zhǎng)的線段
11、半圓的周長(zhǎng)等于圓周長(zhǎng)的一半加一條直徑。
14、半圓的面積是圓面積的一半。S半=πX r的平方÷2
15、大小兩個(gè)圓比較，半徑的倍數(shù)=直徑的倍數(shù)=周長(zhǎng)的倍數(shù)，面積的倍數(shù)=半徑的倍數(shù)2倍
16、周長(zhǎng)相等的平面圖形中，圓的面積最大；面積相等的平面圖形中，圓的周長(zhǎng)最短。
17、三個(gè)頂點(diǎn)都在圓上，且有一條邊是直徑的三角形一定是直角三角形。
應(yīng)用這條規(guī)律可以找出圓的直徑和圓心。
(1)以圓上的一個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)直角
(2)連接角的兩邊與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，這條就是直徑
6.關(guān)于圓的知識(shí)
圓 【漢字中的“圓”】 【繁體】圓 【解釋】 ①圓周率所圍成的平面：~桌∣~柱∣~筒； ②圓周的簡(jiǎn)稱； ③像球的形狀：滾~∣滴溜~； ④圓滿；周全：這話說(shuō)的不~∣這人做事很~，各方面都能照顧到； ⑤使圓滿；使周全：~場(chǎng)∣~謊∣自~其說(shuō)； ⑥圓形的貨幣：銀~∣銅~； ⑧姓氏。
【組詞】 〖圓場(chǎng)〗為打開僵局而從中解說(shuō)或提出折衷辦法：這事最好由你出面說(shuō)幾句話圓圓場(chǎng)。 〖圓成〗成全：完成好事。
〖圓雕〗雕塑的一種，用石頭、金屬、木頭等雕出立體形象。 〖圓房〗舊指童養(yǎng)媳和未婚夫開始過(guò)夫婦生活。
〖圓墳〗舊俗在死人埋葬三天后去墳上培土。 〖圓規(guī)〗兩腳規(guī)的一種，一腳是尖針，另一腳可以裝上鉛筆芯或鴨嘴筆頭，是畫圓和弧的用具。
〖圓滑〗形容人只顧各方面敷衍討好，不負(fù)責(zé)任。 〖圓謊〗彌補(bǔ)謊話中的漏洞：他想圓謊，可越說(shuō)漏洞越多。
〖圓渾〗①（聲音）婉轉(zhuǎn)而圓潤(rùn)自然：語(yǔ)調(diào)圓渾∣這段唱腔流暢而圓渾；②（詩(shī)文）意味濃厚，沒有雕琢的痕跡。 〖圓寂〗佛教用語(yǔ)，稱僧尼死亡。
〖圓滿〗?jīng)]有欠缺、漏洞，使人滿意：圓滿的答案∣兩國(guó)會(huì)談圓滿結(jié)束。 〖圓夢(mèng)〗解說(shuō)夢(mèng)的吉兇（迷信）。
另：美夢(mèng)成真（愿望）。 〖圓全〗圓滿；周全：想的圓全∣事情辦的圓全。
〖圓潤(rùn)〗①飽滿而潤(rùn)澤：圓潤(rùn)的歌喉；②（書、畫技法）圓熟流利：他的書法圓潤(rùn)有力。 〖圓實(shí)〗圓而結(jié)實(shí)：西瓜長(zhǎng)的挺圓實(shí)∣蓮子飽滿圓實(shí)。
〖圓熟〗①熟練；純熟：筆體圓熟∣演技日臻圓熟。②精明練達(dá)；靈活變通：處事極圓熟。
〖圓通〗（為人、做事）靈活變通，不固執(zhí)己見。 〖圓舞曲〗一種每節(jié)三拍的民間舞曲，起源于奧地利，后來(lái)流行很廣。
〖圓珠筆〗用油墨書寫的一種筆，筆芯里裝有油墨，筆尖是個(gè)小鋼珠，油墨由鋼珠四周漏下。 〖圓桌〗桌面是圓形的桌子。
〖圓子〗①糯米粉等做成的一種食品，大多有餡。②〈方〉丸子。
【自圓其說(shuō)】多指掩飾矛盾 【圓的基本知識(shí)】 圓 定義 圓的定義有2 其一：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓。 其二：平面上一條線段，繞它的一端旋轉(zhuǎn)360°，留下的軌跡叫圓。
概括 把一個(gè)圓按一條直線對(duì)折過(guò)去，并且完全重合，展開再換個(gè)方向?qū)φ?，折出后，這些折痕相交的一個(gè)點(diǎn)，叫做圓心，用字母O表示。連接圓心和圓上的任意一點(diǎn)的線段叫做半徑，用字母r表示。
通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，用字母d表示。圓心定圓的位置，半徑和直徑定圓的大小。
在同一個(gè)圓或等圓中，半徑都相等，直徑也都相等，直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1/2。 用字母表示是：d=2r或r=d/2 圓的相關(guān)量 圓周率：圓周長(zhǎng)度與圓的直徑長(zhǎng)度的比值叫做圓周率，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)通常用π表示，π=3.1415926535。
在實(shí)際應(yīng)用中我們只取它的近似值，即π≈3.14（在奧數(shù)中一般π只取3、3.1416或3.14159） 圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。
連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。 圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。
頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。 內(nèi)心和外心：過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。
和三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。 扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。
圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的半徑稱為圓錐的母線。
【圓和圓的相關(guān)量字母表示方法】 圓—⊙ 半徑—r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母） 弧—⌒ 直徑—d 扇形弧長(zhǎng)/圓錐母線—l 周長(zhǎng)—C 面積—S 【圓和其他圖形的位置關(guān)系】 圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn)P與圓O的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則PO是點(diǎn)到圓心的距離），P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O內(nèi)，PO 直線與圓有3種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交，這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。以直線AB與圓O為例（設(shè)OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO>r;AB與⊙O相切，PO=r;AB與⊙O相交，PO 兩圓之間有5種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。
兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r 【圓的平面幾何性質(zhì)和定理】 一有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理 ⑴圓的確定：畫一條線段，以線段長(zhǎng)為半徑以一端點(diǎn)為圓心畫弧繞360度后得到圓。
圓的對(duì)稱性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條通過(guò)圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。
⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。 。
7.求數(shù)學(xué)圓相關(guān)的資料
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-a）^2+(y-b)^2=r^2。
圓的一般方程：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比，其實(shí)D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2-r^2。
圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。 〖圓與直線的位置關(guān)系判斷〗 平面內(nèi)，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0。
利用判別式b^2-4ac的符號(hào)可確定圓與直線的位置關(guān)系如下： 如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點(diǎn)，即圓與直線相交。 如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點(diǎn)，即圓與直線相切。
如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點(diǎn)，即圓與直線相離。 2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y軸（或垂直于x軸），將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此時(shí)的兩個(gè)x值x1、x2，并且規(guī)定x1<x2，那么： 當(dāng)x=-C/Ax2時(shí)，直線與圓相離； 當(dāng)x1<x=-C/A (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圓心坐標(biāo)為（-D/2,-E/2） 其實(shí)只要保證X方Y(jié)方前系數(shù)都是1 就可以直接判斷出圓心坐標(biāo)為（-D/2,-E/2） 這可以作為一個(gè)結(jié)論運(yùn)用的 且r=根號(hào)（圓心坐標(biāo)的平方和-F） 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。 圓心：圓中心固定的一點(diǎn)叫做圓心。
用字母o或⊙表示 直徑：通過(guò)圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。用字母d表示。
半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段，叫做圓的半徑。用字母r表示。
圓的直徑和半徑都有無(wú)數(shù)條。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1/2. 圓的半徑或直徑?jīng)Q定了圓的大小，圓心決定了圓的位置。
圓的周長(zhǎng)：圍成圓的曲線的長(zhǎng)度叫做圓的周長(zhǎng)，用C表示。 圓的周長(zhǎng)與直徑的比值叫做圓周率。
圓周率是一個(gè)固定的數(shù)，它是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，用字母π表示。近似等于3.14。
直徑所對(duì)的圓周角是直角。90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
圓的面積公式：πr^2，用字母S表示。 有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理 ⑴圓的確定：畫一條線段，以線段長(zhǎng)為半徑以一端點(diǎn)為圓心畫弧繞360度后得到圓。
圓的對(duì)稱性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條通過(guò)圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。
⑵有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
如果一條弧的長(zhǎng)是另一條弧的2倍，那么其所對(duì)的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。 ⑶有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理 ①一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。
外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等； ②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。 ③R=2S△÷L(R：內(nèi)切圓半徑，S：面積，L：周長(zhǎng)) ④兩相切圓的連心線過(guò)切點(diǎn)（連心線：兩個(gè)圓心相連的線段） ⑤圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB,CD，弦AD與BC分別交PQ于X,Y，則M為XY之中點(diǎn)。
（4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。 （5）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)。
（6）圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。 （7）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。
（8）圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個(gè)角所對(duì)的弧的度數(shù)之和的一半。 （9）圓外角的度數(shù)等于這個(gè)等于這個(gè)角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。
〖有關(guān)切線的性質(zhì)和定理〗 圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個(gè)圓的切線。 切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。
（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。 切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長(zhǎng)相等，那點(diǎn)與圓心的連線平分切線的夾角。
〖有關(guān)圓的計(jì)算公式〗 1.圓的周長(zhǎng)C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr^2; 3.扇形弧長(zhǎng)l=nπr/180 4.扇形面積S=(nπr^2)/360=lr/2(l為扇形的弧長(zhǎng))5.圓錐側(cè)面積S=πrl 6.圓錐側(cè)面展開圖（扇形）的圓心角n=360r/l(r是底面半徑，l是母線長(zhǎng))。
