圓的和經(jīng)典題型(圓的所有經(jīng)典題型大家?guī)蛶兔?

1.圓的所有經(jīng)典題型大家?guī)蛶兔?/h2>

如圖：⊙O的弦AC、BD交于點S，過點A、B分別作⊙O的切線得交點P，延長AD、BC得交點Q，求證：P、S、Q三點共線 如圖：已經(jīng)AB是圓O的直徑，CD是圓的弦且垂直于AB，交AB于點E,QP是過E點的弦，連接BQ、BP，交CD于點H，點G。

證明：三角形GPE和三角形QHE相似問題補充 2009-12-15 18:18L是圓O上的任意一點，以D為圓心，以DL為半徑畫圓，交圓O于點M，連接BD、CL、CM,BD于CL、CM相交于點R和點S。證明：三角形BRC和三角形BSC相似 其實有很多很多，具體你看我的問問回答吧。

2.圓的所有經(jīng)典題型

如圖：

⊙O的弦AC、BD交于點S，過點A、B分別作⊙O的切線得交點P，延長AD、BC得交點Q，求證：P、S、Q三點共線

如圖：已經(jīng)AB是圓O的直徑，CD是圓的弦且垂直于AB，交AB于點E,QP是過E點的弦，連接BQ、BP，交CD于點H，點G。

證明：三角形GPE和三角形QHE相似

問題補充 2009-12-15 18:18

L是圓O上的任意一點，以D為圓心，以DL為半徑畫圓，交圓O于點M，連接BD、CL、CM,BD于CL、CM相交于點R和點S。

證明：三角形BRC和三角形BSC相似

其實有很多很多，具體你看我的問問回答吧

3.高中數(shù)學(xué)圓的基本知識與分類練習(xí)

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高一數(shù)學(xué)期中復(fù)習(xí)之一——圓

一.基本知識之關(guān)于圓的方程

1.圓心為，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.特殊地，

當(dāng)時，圓心在原點的圓的方程為：.

2.圓的一般方程，其中.

圓心為點，半徑，

3.二元二次方程，表示圓的方程的充要條件是：

①項項的系數(shù)相同且不為，即；②沒有項，即；③.

4.圓：的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

特殊地，的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

5.圓系方程：過圓：與圓：交點的圓系方程是（不含圓），

當(dāng)時圓系方程變?yōu)閮蓤A公共弦所在直線方程.

二.基本知識之關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系|相切|相交|相離|

幾何特征|代數(shù)特征|

將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為，圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

直線截圓所得弦長的計算方法：

①利用弦長計算公式：設(shè)直線與圓相交于，兩點，

則弦；

②利用垂徑定理和勾股定理：（其中為圓的半徑，直線到圓心的距離）.

3.圓與圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的半徑分別為和，圓心距為，則兩圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

位置關(guān)系|外離|外切|相交|內(nèi)切|內(nèi)含|

幾何特征|代數(shù)特征|無實數(shù)解|一組實數(shù)解|兩組實數(shù)解|一組實數(shù)解|無實數(shù)解|

三.分類例題練習(xí)解：（

4.關(guān)于圓的知識

圓的有關(guān)性質(zhì)

一，〖知識點〗圓、圓的對稱性、點和圓的位置關(guān)系、不在同一直線上的三點確定一個圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

〖大綱要求〗

1. 正確理解和應(yīng)用圓的點集定義，掌握點和圓的位置關(guān)系；

2. 熟練地掌握確定一個圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點。一個

圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個條件確定一條直線，三個條件確定一個圓，過三角形的三個頂點的圓存在并且唯一；

3. 熟練地掌握和靈活應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直徑是半

徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線都是對稱軸；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；垂徑定理及其推論；圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系；

4. 掌握和圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等于同（等）弧上的

圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑；

5. 掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：它溝通了圓內(nèi)外圖形的關(guān)系，并能應(yīng)用它解決有關(guān)

問題；

6. 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦①在“過圓心”②“垂直于另一條弦”

③“平分這另一條弦”④“平分這另一條弦所對的劣弧”⑤“ 平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個條件中任意具有兩個條件，則必具有另外三個結(jié)論（當(dāng)①③為條件時要對另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡化了對它實際代表的10條定理的記憶且便于解題時的靈活應(yīng)用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系等的重要依據(jù)；（2）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到它所對的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過它的端點若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個點在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角，要想到應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。

〖考查重點與常見題型〗

1. 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學(xué)

生對基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語句中，正確的有（ ）

(A)相等的圓心角所對的弧相等 （B）平分弦的直徑垂直于弦

(C)長度相等的兩條弧是等弧 （D）弦過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸

2. 論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。此種結(jié)論的證明重

點考查了全等三角形和相似三角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識，常以解答題形式出現(xiàn)。

二，〖知識點〗

相交弦定理、切割線定理及其推論

〖大綱要求〗

1. 正誤相交弦定理、切割線定理及其推論；

2. 了解圓冪定理的內(nèi)在聯(lián)系；

3. 熟練地應(yīng)用定理解決有關(guān)問題；

4. 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似

三角形結(jié)合的產(chǎn)物。這幾個定理可統(tǒng)一記憶成一個定理：過圓內(nèi)或圓外一點作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分（內(nèi)分或外分）成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩條交點重合的割線）。使用時注意每條線段的兩個端點一個是公共點，另一個是與圓的交點；

(2)見圓中有兩條相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，并熟悉此時圖形中存在著一個以交點和圓心連線為對稱軸的對稱圖形。

〖考查重點與常見題型〗

證明等積式、等比式及混合等式等。此種結(jié)論的證明重點考查了相似三角形，切割線定

理及其推論，相交弦定理及圓的一些知識。常見題型以中檔解答題為主，也有一些出現(xiàn)在選擇題或填空題中。

5.圓的知識點

一、圓及圓的相關(guān)量的定義（28個） 1.平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

定點稱為圓心，定長稱為半徑。 2.圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。 3.頂點在圓心上的角叫做圓心角。

頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。 4.過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。

和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。 5.直線與圓有3種位置關(guān)系：無公共點為相離；有2個公共點為相交；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。

6.兩圓之間有5種位置關(guān)系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有2個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。

7.在圓上，由2條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個扇形。

這個扇形的半徑成為圓錐的母線。 二、有關(guān)圓的字母表示方法（7個） 圓--⊙ 半徑—r 弧--⌒ 直徑—d 扇形弧長/圓錐母線—l 周長—C 面積—S 三、有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理（27個） 1.點P與圓O的位置關(guān)系（設(shè)P是一點，則PO是點到圓心的距離）： P在⊙O外，PO>r;P在⊙O上，PO=r;P在⊙O內(nèi)，PO 2.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。

圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。 3.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。 4.在同圓或等圓中，如果2個圓心角，2個圓周角，2條弧，2條弦中有一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等。

5.一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。 6.直徑所對的圓周角是直角。

90度的圓周角所對的弦是直徑。 7.不在同一直線上的3個點確定一個圓。

8.一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形3個頂點距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點，到三角形3邊距離相等。

9.直線AB與圓O的位置關(guān)系（設(shè)OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）： AB與⊙O相離，PO>r;AB與⊙O相切，PO=r;AB與⊙O相交，PO 10.圓的切線垂直于過切點的直徑；經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個圓的切線。 11.圓與圓的位置關(guān)系（設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P）： 外離P>R+r；外切P=R+r；相交R-r 四、有關(guān)圓的計算公式 1.圓的周長C=2πr=πd 2.圓的面積S=πr2 3.扇形弧長l=nπr/180 4.扇形面積S=nπr2/360=rl/2 5.圓錐側(cè)面積S=πrl 五 圓的方程 1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，以點O(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （x-a）^2+(y-b)^2=r^2 2.圓的一般方程 把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 和標(biāo)準(zhǔn)方程對比，其實D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2 相關(guān)知識：圓的離心率e=0.在圓上任意一點的曲率半徑都是r. 六 圓與直線的位置關(guān)系判斷 平面內(nèi)，直線Ax+By+C=O與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關(guān)系判斷一般方法是 討論如下2種情況： （1）由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B，[其中B不等于0]， 代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關(guān)于x的一元二次方程f(x)=0. 利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關(guān)系如下： 如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交 如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切 如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離 （2）如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C/A.它平行于y軸（或垂直于x軸） 將x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+(y-b)^2=r^2 令y=b，求出此時的兩個x值x1,x2，并且我們規(guī)定x1<x2 當(dāng)x=-C/Ax2時，直線與圓相離 當(dāng)x1<x=-C/A<x2時，直線與圓相交 當(dāng)x=-C/A=x1或x=-C/A=x2時，直線與圓相切。

6.圓的知識點有哪些

一，〖知識點〗圓、圓的對稱性、點和圓的位置關(guān)系、不在同一直線上的三點確定一個圓、三角形的外接圓、垂徑定理逆定理、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 〖大綱要求〗 1. 正確理解和應(yīng)用圓的點集定義，掌握點和圓的位置關(guān)系； 2. 熟練地掌握確定一個圓的條件，即圓心、半徑；直徑；不在同一直線上三點。

一個 圓的圓心只確定圓的位置，而半徑也只能確定圓的大小，兩個條件確定一條直線，三個條件確定一個圓，過三角形的三個頂點的圓存在并且唯一； 3. 熟練地掌握和靈活應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì)：同（等）圓中半徑相等、直徑相等直徑是半 徑的2倍；直徑是最大的弦；圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一條直線都是對稱軸；圓是中心對稱圖形，圓心是對稱中心；圓具有旋轉(zhuǎn)不變性；垂徑定理及其推論；圓心角、圓周角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系； 4. 掌握和圓有關(guān)的角：圓心角、圓周角的定義及其度量；圓心角等于同（等）弧上的 圓周角的2倍；同（等）弧上的圓周角相等；直徑（半圓）上的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑； 5. 掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理：它溝通了圓內(nèi)外圖形的關(guān)系，并能應(yīng)用它解決有關(guān) 問題； 6. 注意：（1）垂徑定理及其推論是指：一條弦①在“過圓心”②“垂直于另一條弦” ③“平分這另一條弦”④“平分這另一條弦所對的劣弧”⑤“ 平分這另一條弦所對的優(yōu)弧”的五個條件中任意具有兩個條件，則必具有另外三個結(jié)論（當(dāng)①③為條件時要對另一條弦增加它不是直徑的限制），條理性的記憶，不但簡化了對它實際代表的10條定理的記憶且便于解題時的靈活應(yīng)用，垂徑定理提供了證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系等的重要依據(jù)；（2）有弦可作弦心距組成垂徑定理圖形；見到直徑要想到它所對的圓周角是直角，想垂徑定理；想到過它的端點若有切線，則與它垂直，反之，若有垂線則是切線，想到它被圓心所平分；（3）見到四個點在圓上想到有4組相等的同弧所對的圓周角，要想到應(yīng)用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。 〖考查重點與常見題型〗 1. 判斷基本概念、基本定理等的正誤，在中考題中常以選擇題、填空題的形式考查學(xué) 生對基本概念和基本定理的正確理解，如：下列語句中，正確的有（ ） （A）相等的圓心角所對的弧相等 （B）平分弦的直徑垂直于弦 （C）長度相等的兩條弧是等弧 （D）弦過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸 2. 論證線段相等、三角形相似、角相等、弧相等及線段的倍分等。

此種結(jié)論的證明重 點考查了全等三角形和相似三角形判定，垂徑定理及其推論、圓周角、圓心角的性質(zhì)及切線的性質(zhì)，弦切角等有關(guān)圓的基礎(chǔ)知識，常以解答題形式出現(xiàn)。 二，〖知識點〗 相交弦定理、切割線定理及其推論 〖大綱要求〗 1. 正誤相交弦定理、切割線定理及其推論； 2. 了解圓冪定理的內(nèi)在聯(lián)系； 3. 熟練地應(yīng)用定理解決有關(guān)問題； 4. 注意（1）相交弦定理、切割線定理及其推論統(tǒng)稱為圓冪定理，圓冪定理是圓和相似 三角形結(jié)合的產(chǎn)物。

這幾個定理可統(tǒng)一記憶成一個定理：過圓內(nèi)或圓外一點作圓的兩條割線，則這兩條割線被圓截出的兩弦被定點分（內(nèi)分或外分）成兩線段長的積相等（至于切線可看作是兩條交點重合的割線）。使用時注意每條線段的兩個端點一個是公共點，另一個是與圓的交點； （2）見圓中有兩條相交想到相交弦定理；見到切線與一條割線相交則想到切割線定理；若有兩條切線相交則想到切線長定理，并熟悉此時圖形中存在著一個以交點和圓心連線為對稱軸的對稱圖形。

〖考查重點與常見題型〗 證明等積式、等比式及混合等式等。此種結(jié)論的證明重點考查了相似三角形，切割線定 理及其推論，相交弦定理及圓的一些知識。

常見題型以中檔解答題為主，也有一些出現(xiàn)在選擇題或填空題中。

7.初三數(shù)學(xué)“圓”的經(jīng)典題型

說幾個吧（應(yīng)該夠你做2天） 證明：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么（AF/FB）*(BD/DC)*(CE/EA)=1。

證明：同一三角形的垂心、重心、外心三點共線 證明：已知P為銳角△ABC內(nèi)一點，當(dāng)∠APB=∠BPC=∠CPA=120°時，PA+PB+PC的值最小， 證明：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點 證明：已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長線交于點G，邊BC、EF延長線交于點H，邊CD、FA延長線交于點K，則H、G、K三點共線 證明：一動點P與兩定點A、B的距離之比等于定比m:n，則點P的軌跡，是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓 難度系數(shù)均為N。

8.小學(xué)五年級數(shù)學(xué)關(guān)于圓的知識點

、圓：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

2、圓心：圓任意兩條對稱軸的交點為圓心。 注：圓心一般符號O表示

3、直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。直徑一般用字母d表示。

4、半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。半徑一般用字母r表示。

5、圓的直徑和半徑都有無數(shù)條。圓是軸對稱圖形，每條直徑所在的直線是圓的對稱軸

6、在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的二分之一.d=2r或r=d/2。

7、圓的半徑或直徑?jīng)Q定圓的大小，圓心決定圓的位置。

8、圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用字母C表示。

9、圓周率：圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

10、圓的周長除以直徑的商是一個固定的數(shù)，把它叫做圓周率，它是一個無限不循環(huán)小數(shù)（無理數(shù)），用字母π表示。計算時，通常取它的近似值，π≈3.14。

11、直徑所對的圓周角是直角。90°的圓周角所對的弦是直徑。

12、圓的面積公式：圓所占平面的大小叫做圓的面積。πr^2；，用字母S表示。

13、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

14、在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對的圓心角相等，所對的弦相等，所對的弦心距也相等。

二、周長計算公式

(1)已知直徑：C=πd

(2)已知半徑：C=2πr

(3)已知周長：D=c/π

(4)圓周長的一半：1/2周長（曲線）

(5)半圓的周長：1/2周長+直徑（π÷2+1）

三、面積計算公式：

(1)已知半徑：S=πr2

(2)已知直徑：S=π（d/2）2

(3)已知周長：S=π[c÷（2π）]2