二次函數(shù)知識基礎(chǔ)(二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納)

1.二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納

二次函數(shù) I.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì)1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a|a|越大，則拋物線的開口越小。4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。拋物線與y軸交于（0,c）6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ= b^2-4acV.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程），即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。答案補(bǔ)充 畫拋物線y=ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。

列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。二次函數(shù)解析式的幾種形式（1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.說明：（1）任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）,h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 答案補(bǔ)充 如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2；如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k 定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。

IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。x是自變量，y是x的函數(shù) 二次函數(shù)的三種表達(dá)式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）。

2.二次函數(shù)全部知識

定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2+k 交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次。 x是自變量，y是x的二次函數(shù) x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）[編輯本段]二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數(shù)圖像[編輯本段]拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ） 當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a |a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因?yàn)槿魧ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0，所以b/2a要大于0，所以a、b要同號 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。

可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。 5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0,c） 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

_______ Δ= b2-4ac 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域：R 值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[（4ac-b2）/4a，正無窮）；②[t，正無窮） 奇偶性：偶函數(shù) 周期性：無 解析式： ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，則拋物線開口朝上；a ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a,(4ac-b2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac， Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： （-b/2a,0）； Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時(shí)，對應(yīng)極值點(diǎn)為（h,t），其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式] a≠0，此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。[編輯本段]二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax2+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 1.二次函數(shù)y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表： 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)坐標(biāo) （0,0） (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b2]/4a) 對 稱 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到， 當(dāng)h0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當(dāng)h0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當(dāng)h<0,k0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何一對對稱點(diǎn)的距離可以由|2*(-b/2a)-A |(A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)) 當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)△0時(shí)，圖象落在x軸的上方，x為任何實(shí)數(shù)時(shí)，都有y>0；當(dāng)a<0時(shí)，圖象落在x軸的下方，x為任何實(shí)。

3.二次函數(shù)的基本知識

我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadratic function），稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。

一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。

右邊是整式，且自變量的最高次數(shù)是2。 注意，“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。

未知數(shù)只是一個(gè)數(shù)（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會(huì)遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。

從函數(shù)的定義也可看出二者的差別。二次函數(shù)的解法 二次函數(shù)的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入也就是說三個(gè)方程解三個(gè)未知數(shù) 如題方程一8=a2+b2+c 化簡 8=c 也就是說c就是函數(shù)與Y軸的交點(diǎn)。

方程二7=a*36+b*6+c 化簡 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡 7=36a-6b+c。

解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。

對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標(biāo) 可以求出一個(gè)對稱軸也就是X=0 。 通過對稱軸公式x=-b/2a 也可以算 。

如果知道過x軸的兩個(gè)坐標(biāo)（y=0的兩個(gè)坐標(biāo)的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達(dá)定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。

設(shè)兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)（1,2）和另一任意點(diǎn)（3,10），設(shè)y=a(x-1)2+2，把（3,10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2一般式 y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）頂點(diǎn)式 y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）對稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。交點(diǎn)式 y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：二次函數(shù)（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。

a>0時(shí)，開口方向向上；a<0時(shí)，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。

a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。

4.關(guān)于二次函數(shù)的所有知識

知道二次函數(shù)的意義。

自變量的取值范圍及對所含系數(shù)的要求有哪些異同，在比較中掌握二次函數(shù)的定義。

圖象的有關(guān)技巧（y=ax2的關(guān)鍵點(diǎn)是頂點(diǎn)及關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)）。

本節(jié)的重點(diǎn)是二次函數(shù)的概念，正確畫出y=ax2的圖象，初步掌握二次函數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)的增減性是教學(xué)的難點(diǎn)。

函數(shù)y=ax2的圖象是一條關(guān)于y軸對稱的曲線，這條曲線叫拋物線。

1. 會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象。

2. 能利用圖象或通過配方法確定拋物線的開口方向及對稱軸、頂點(diǎn)的位置。

3. 會(huì)由已知圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出二次函數(shù)的解析式。

對二次函數(shù)畫圖象，首先應(yīng)了解二次函數(shù)的圖象是拋物線，其關(guān)鍵點(diǎn)是它的頂點(diǎn) 拋物線與x軸有交點(diǎn)），然后依對稱性，再參照y=ax2的圖象，就可迅速畫出原二次函數(shù)的圖象。

在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的圖象，對比各種不同形式及相同形式但所含常數(shù)不同時(shí)的各種情況，歸納總結(jié)出一定的規(guī)律，從而更好地理解函數(shù)的性質(zhì)。

在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，引導(dǎo)他們從增減性、對稱性、最值、截距幾個(gè)方面去發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，然后再逐漸條理化。

學(xué)會(huì)函數(shù)知識的應(yīng)用，從而加強(qiáng)技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng)。

用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象，用一般式來研究二次函數(shù)的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式，是本節(jié)的重點(diǎn)。

怎樣移動(dòng)便得到另一個(gè)圖象；由二次函數(shù)的圖象得出二次函數(shù)的性質(zhì)，這是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的問題，以上三個(gè)問題是本節(jié)中的難點(diǎn)。

1. 函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線，它的對稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。當(dāng)a>0時(shí)，拋物線y=ax2在x軸的上方，在y軸的左右兩側(cè)同時(shí)向上無限延伸；當(dāng)a<0的時(shí)候，拋物線y=ax2在x軸的下方，在y軸的左右兩側(cè)同時(shí)向下無限延伸。

2. 為了描點(diǎn)畫出二次函數(shù)y=x2的圖象，先要列出函數(shù)的對應(yīng)值表，如何選取自變量x的值呢？不妨以零為中心，均勻選取一些便于計(jì)算的x值。

(1)提出二次項(xiàng)系數(shù)；

(2)在提出二次項(xiàng)系數(shù)以后的式子，配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，同時(shí)減去該平方；

(3)將提出的二次項(xiàng)系數(shù)乘回去。

3. 在本節(jié)的學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常需要觀察圖象的特點(diǎn)以及不同圖象之間的相互關(guān)系，這正是培養(yǎng)學(xué)生觀察力、理解力的好機(jī)會(huì)，應(yīng)啟發(fā)學(xué)生各抒己見，展開討論，以得出比較滿意的結(jié)論。

5.二次函數(shù)的基本知識

我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a,b,c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（quadratic function），稱a為二次項(xiàng)系數(shù)，b為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)。一般的，形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函數(shù)叫二次函數(shù)。自變量（通常為x）和因變量（通常為y）。右邊是整式，且自變量的最高次數(shù)是2。 注意，“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)”。未知數(shù)只是一個(gè)數(shù)（具體值未知，但是只取一個(gè)值），變量可在一定范圍內(nèi)任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個(gè)數(shù)或函數(shù)——也會(huì)遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經(jīng)有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別。

二次函數(shù)的解法

二次函數(shù)的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三個(gè)點(diǎn) 將三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入也就是說三個(gè)方程解三個(gè)未知數(shù) 如題方程一8=a2+b2+c 化簡 8=c 也就是說c就是函數(shù)與Y軸的交點(diǎn)。 方程二7=a*36+b*6+c 化簡 7=36a+6b+c。 方程三7=a*(-6)2+b*(-6)+c化簡 7=36a-6b+c。 解出a,b,c 就可以了 。 上邊這種是老老實(shí)實(shí)的解法 。 對（6,7）(-6,7)這兩個(gè)坐標(biāo) 可以求出一個(gè)對稱軸也就是X=0 。 通過對稱軸公式x=-b/2a 也可以算 。 如果知道過x軸的兩個(gè)坐標(biāo)（y=0的兩個(gè)坐標(biāo)的值叫做這個(gè)方程的兩個(gè)根）也可以用對稱軸公式x=-b/2a算 。 或者使用韋達(dá)定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。 設(shè)兩個(gè)根為X1和X2 則X1+X2= -b/a X1·X2=c/a 已知頂點(diǎn)（1,2）和另一任意點(diǎn)（3,10），設(shè)y=a(x-1)2+2，把（3,10）代入上式，解得y=2(x-1)2+2

一般式

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

頂點(diǎn)式

y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）對稱軸為x=h，頂點(diǎn)的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax^2的圖像相同，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式。

交點(diǎn)式

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線，即b^2-4ac≥0] 由一般式變?yōu)榻稽c(diǎn)式的步驟：

二次函數(shù)（16張） ∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a ∴y=ax^2+bx+c =a(x^2+b/ax+c/a) =a[﹙x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時(shí)，開口方向向上；a

6.二次函數(shù)的基本知識,全面點(diǎn)的

登陸/view/407281.htm定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，則稱y為x的二次函數(shù)。

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k （兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)一樣，但初中課本上都是第一個(gè)式子） 交點(diǎn)式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大。）

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次。 x是自變量，y是x的二次函數(shù) x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。

不同的二次函數(shù)圖像拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P ( -b/2a ,(4ac-b2)/4a ） 當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a |a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。 當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因?yàn)槿魧ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab 事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點(diǎn)處的該拋物線切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。

可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。 5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

拋物線與y軸交于（0,c） 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

_______ Δ= b2-4ac 當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x-b/2a}上是增函數(shù)；拋物線的開口向上；函數(shù)的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不變 當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸，這時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，解析式變形為y=ax2+c(a≠0) 7.定義域：R 值域：（對應(yīng)解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）①[（4ac-b2）/4a，正無窮）；②[t，正無窮） 奇偶性：偶函數(shù) 周期性：無 解析式： ①y=ax2+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a>0，則拋物線開口朝上；a ⑶極值點(diǎn)：（-b/2a,(4ac-b2)/4a）； ⑷Δ=b2-4ac， Δ>0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)： （[-b-√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）； Δ=0，圖象與x軸交于一點(diǎn)： （-b/2a,0）； Δ ②y=a(x-h)2+t[配方式] 此時(shí)，對應(yīng)極值點(diǎn)為（h,t），其中h=-b/2a,t=(4ac-b2)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交點(diǎn)式] a≠0，此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax2+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax2+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 1.二次函數(shù)y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 +k,y=ax2+bx+c（各式中，a≠0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸如下表： 解析式 y=ax2 y=ax2+K y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 頂點(diǎn)坐標(biāo) （0,0） (0,K) (h,0) (h,k) (-b/2a,sqrt[4ac-b2]/4a) 對 稱 軸 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 當(dāng)h>0時(shí)，y=a(x-h)2的圖象可由拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到， 當(dāng)h0,k>0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象； 當(dāng)h>0,k<0時(shí)，將拋物線y=ax2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位，再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)2-k的圖象； 當(dāng)h0時(shí)，將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位，再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x+h)2+k的圖象； 當(dāng)h<0,k0時(shí)，開口向上，當(dāng)a0，當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x ≥ -b/2a時(shí)，y隨x的增大而增大.若a0，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x?-x?| 另外，拋物線上任何一對對稱點(diǎn)的距離可以由|2*(-b/2a)-A |(A為其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)) 當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)； 當(dāng)△0時(shí)，圖象落在x。

7.二次函數(shù)的知識點(diǎn)有哪些

二次函數(shù)的知識點(diǎn)

1.二次函數(shù)的定義：y=ax^2+bx+c(a≠0)

2.圖像和性質(zhì)：

二次函數(shù)y=ax^2(a>0)的圖像和性質(zhì)；

二次函數(shù)y=ax^2(a<0)的圖像和性質(zhì)；

二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a>0)的圖像和性質(zhì)；

二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a<0)的圖像和性質(zhì).

圖像：列對應(yīng)值描點(diǎn)作圖法；

根據(jù)對稱性作圖法.

圖像的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

性質(zhì)：對稱性，對稱軸及方程；

單調(diào)性，單調(diào)區(qū)間；

最大值，最小值.

3.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)三種形式及應(yīng)用：

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0)

頂點(diǎn)式：y=a(x-r)^2+h

兩點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)

4.二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的平移變換

5.常用方法：

配方法.

待定系數(shù)法.

。..

8.二次函數(shù)的知識啊簡明扼要

二次函數(shù) I.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下，IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小，IaI越小開口就越大.) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。 II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) 頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系： h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像， 可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

IV.拋物線的性質(zhì) 1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。 特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0） 2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。

當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。 3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a|a|越大，則拋物線的開口越小。 4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號時(shí)（即ab>0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時(shí)（即ab5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。 拋物線與y軸交于（0,c） 6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。 Δ= b^2-4acV.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2;+bx+c， 當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無交點(diǎn)即方程有無實(shí)數(shù)根。

函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。 畫拋物線y=ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。

列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢。 二次函數(shù)解析式的幾種形式 （1）一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0). (2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0). (3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0. 說明：（1）任何一個(gè)二次函數(shù)通過配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h,k）,h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn) 如果圖像經(jīng)過原點(diǎn)，并且對稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^2；如果對稱軸是y軸，但不過原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向，a>0時(shí)，開口方向向上，a<0時(shí)，開口方向向下。

還可以決定開口大小，越大開口就越小，越小開口就越大。) 則稱y為x的二次函數(shù)。

二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。 x是自變量，y是x的函數(shù) 二次函數(shù)的三種表達(dá)式 ①一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù)，a≠0) ②頂點(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k ③交點(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2) 以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化： ①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系 對于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a,(4ac-b^2)/4a），即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a ②一般式和交點(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式。